[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1924-01-16

1924年(大正13年)東京帝國大學農學部(第二次)-數學[3]

[3] $y=\dfrac{c}{2}(e^{\frac{x}{c}}+e^{-\frac{x}{c}})$ ナル曲線ト $y$ 軸トノ交點ニ於ケル曲率半徑ヲ求メヨ．

2022.08.07記

[解答]
$y=f(x)$ の曲率半径は $\dfrac{\{1+(y')^2\}^{3/2}}{|y''|}$ である．
$y'=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x}{c}}-e^{-\frac{x}{c}})$ ， $y''=\dfrac{1}{2c}(e^{\frac{x}{c}}+e^{-\frac{x}{c}})$
だから， $x=0$ における曲率半径は $c$ となる．

[別解]
マクローリン展開により
$y=c+\dfrac{1}{2c}x^2+o(x^3)$
であるから， $x=0$ における曲率半径は，放物線 $y=c+\dfrac{1}{2c}x^2$ の頂点における曲率半径と等しく
$\dfrac{1}{2\cdot\left|\dfrac{1}{2c}\right|}=c$
となる．