[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1925年(大正14年)東京帝國大學工學部-數學[4]

2022.08.11記

[4] 次ノ積分ヲ求ム．

(a) \displaystyle\int 5x^2e^{4x}dx

(b) \displaystyle\int_{0}^{2a}\dfrac{dx}{(x-a)^2}（a\gt 0）

(c) \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+\sin x}{1+\cos x}dx

2022.08.15記
(b) は広義積分に両端を代入すると失敗するヤツ．

[解答]
(a) 5e^{4x}\left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{2x}{4^2}+\dfrac{2}{4^3}\right)=\dfrac{5}{32}e^{4x}(8x^2-4x+1)+(積分定数)

(b) \displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{dx}{(x-a)^2}=\Bigl[ -\dfrac{1}{x-a}\Bigr]_0^{a-0}=+\infty であるから，積分の値は存在しない．

(c) \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+\sin x}{1+\cos x}dx= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{x}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}+\tan\dfrac{x}{2}\right)\,dx=\Bigl[ x\tan\dfrac{x}{2}\Bigr]_0^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}