[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1941年(昭和16年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.06.01記

[2] 次ノ積分ヲ求ム。
\displaystyle\int_0^1\dfrac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\, dx

2022.06.01記

[解答]　広義積分であるから，
I=\displaystyle\lim_{b\to 1}\int_0^b\dfrac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
を計算する．x=\sin\theta，b=\sin \beta(0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2})とおくと
I=\displaystyle\lim_{\beta\to\frac{\pi}{2}}\int_0^\beta\dfrac{1+\sin^2\theta}{\cos\theta}\,(\cos\theta\, d\theta)
=\displaystyle\lim_{\beta\to\frac{\pi}{2}}\int_0^\beta(1+\sin^2\theta)\, d\theta
=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin^2\theta)\, d\theta
=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}