1939年(昭和14年)東京帝國大學理學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[3] 次ノ積分ノ値ヲ求ム．
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{(\sqrt{2}-x)\sqrt{1-x^2}}$

2022.08.06記

[解答]
積分区間が対称であるから，奇関数部分の積分を除くと
$I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{\sqrt{2}+x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx$ $=2\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\sqrt{2}}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx$
である． $x=\sin\theta$ と置換すると $dx=\cos\theta\,d\theta$ から
$I=2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sqrt{2}}{2-\sin^2\theta}\,d\theta$ $=2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sqrt{2}}{1+\cos^2\theta}\,d\theta$
となる．ここで $t=\tan\theta$ とおくと $dt=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$ であるから， $\dfrac{dt}{1+t^2}=d\theta$ となり，
$I=2\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{2}}{1+\dfrac{1}{1+t^2}}\,\dfrac{dt}{1+t^2}$ $=2\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{2}}{2+t^2}\,dt$ $=2\Bigl[ \mbox{Arctan}\,\dfrac{x}{\sqrt{2}}\Bigr]_{0}^{\infty}$ $=2\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi$

原始関数の1つは $-\mbox{Arctan}^{-1}\dfrac{1-\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^2}}$ である．