1938年(昭和13年)東京帝國大學農學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[3] 次ノ積分ヲ求メヨ．
(i) $\displaystyle\int\dfrac{(1+ \sin x) dx}{\sin x (1 +\cos x)}$

(ii) $\displaystyle\int x^2(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}dx$

2022.08.05記

[解答]
(i) $I=\displaystyle\int\dfrac{(1+ \sin x) dx}{\sin x (1 +\cos x)}$
において $t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと
$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ ， $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
であるから，
$I=\displaystyle\int\dfrac{(1+t)^2}{2t}dt$ $=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2t}+1+\dfrac{t}{2}\right)dt$ $=\dfrac{1}{2}\log |t|+t+\dfrac{t^2}{4}+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{2}\log \left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+\tan\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\tan^2\dfrac{x}{2}+(積分定数)$

(ii) $I=\displaystyle\int x^2(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}dx$
において $x=a\sinh\theta$ とおくと $dx=a\cosh\theta\,d\theta$
であるから，
$I=\displaystyle\int a^2\sinh^2\theta\cdot a\cosh\theta\cdot a\cosh\theta\,d\theta$ $=a^4\displaystyle\int \sinh^2\theta\cosh^2\theta\,d\theta$ $=\dfrac{a^4}{4}\displaystyle\int \sinh^2 2\theta\,d\theta$ $=\dfrac{a^4}{4}\displaystyle\int \dfrac{\cosh 4\theta-1}{2} \,d\theta$ $=\dfrac{a^4}{4}\left(\dfrac{\sinh 4\theta}{8}-\dfrac{\theta}{2}\right)+(積分定数)$
となる．ここで，
$\sinh 4\theta=4\sinh\theta\cosh\theta\cosh 2\theta$ $=4\sinh\theta\cosh\theta(2\sinh^2\theta+1)$
であり， $\sinh\theta=\dfrac{x}{a}$ ， $\cosh\theta=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$
であるから
$\sinh 4\theta=4\cdot\dfrac{x}{a}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}\cdot\dfrac{2x^2+a^2}{a^2}$ $=\dfrac{4x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{a^4}$
となり，また $\theta=\log\left(\dfrac{x}{a}+\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1}\right)$ $=\log \dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}$ $=\log (x+\sqrt{x^2+a^2})-\log a$
であるから， $\log a$ を積分定数に含めると，
$I=\dfrac{a^4}{4}\left(\dfrac{x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{2a^4}-\dfrac{1}{2}\log (x+\sqrt{x^2+a^2})\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{8}-\dfrac{a^4}{8}\log (x+\sqrt{x^2+a^2})+(積分定数)$

[別解]
(ii) $I=\displaystyle\int x^2(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}dx$
において $x=\dfrac{a}{2}(t-t^{-1})$ とおくと $dx=\dfrac{a}{2}(1+t^{-2})dt$
であるから，
$I=\dfrac{a^4}{16}\displaystyle\int (t^4-1)^2 t^{-5}\,dt$
$=\dfrac{a^4}{16}\displaystyle\int(t^3-2t^{-1}+t^{-5})\, dt$
$=\dfrac{a^4}{16}\left(\dfrac{t^4-t^{-4}}{4}-2\log|t|\right)+(積分定数)$
となる．ここで
$x=\dfrac{a}{2}(t-t^{-1})$ から
$t^2=\dfrac{2xt+a}{a}$ ， $t^{-2}=\dfrac{-2xt^{-1}+a}{a}$
$t^{4}=\dfrac{4x^2t^{2}+4axt+a^2}{a^2}$ $=\dfrac{4x(2x^2+a^2)t+4ax^2+a^3}{a^3}$ ，
$t^{-4}=\dfrac{4x^2t^{-2}-4axt^{-1}+a^2}{a^2}$ $=\dfrac{-4x(2x^2+a^2)t^{-1}+4ax^2+a^3}{a^3}$
となるので
$t^4-t^{-4}=\dfrac{4x(2x^2+a^2)(t+t^{-1})}{a^3}$
となる．そして
$t=\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}$ ， $t^{-1}=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}-x}{a}$
であるから
$t^4-t^{-4}=\dfrac{8x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{a^4}$
となる．よって
$I=\dfrac{a^4}{16}\left(\dfrac{2x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{a^4}-2\log\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{8}-\dfrac{a^4}{8}\log\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}+(積分定数)$
となる．ここで $\log a$ を積分定数に含めると，
$I=\dfrac{x(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}{8}-\dfrac{a^4}{8}\log (x+\sqrt{x^2+a^2})+(積分定数)$