1925年(大正14年)東京帝國大學理學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[2] 同一ノ直角坐標軸ヲ用ヒテ $y=x^m$ 及ビ $y=ax+b$ ニテ表ハサレタル曲線ヲ畫キ，方程式 $x^m=ax+b$ ノ實根ノ數ヲ定メヨ．爰ニ $m$ ハ正ノ整數トス．

2022.08.14記

[解答]
$y=ax+b$ が直線を表すように $a^2+b^2\neq 0$ とする．

（ $y=x^m$ ， $y=ax+b$ のグラフは省略）

(i) $m$ が偶数のとき：
$(x^m)'=mx^{m-1}=a$ となる $x$ は $x=\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ であり，これを $\alpha$ とおくと
$y=x^m$ の $x=\alpha$ における接線の方程式は
$y=a(x-\alpha)+\alpha^m$ $=ax-\alpha(a-\alpha^{m-1})$ $=ax-\dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$

であるから，
(a) $b\gt -\dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は2個，
(b) $b= -\dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は1個，
(c) $b\lt -\dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は0個
となる．

(ii) $m=1$ のとき： $y=x$ は直線である．
(a) $a\neq 1$ のとき：実解は1個，
(b) $a=1$ ， $b\neq 0$ のとき：実解は0個，
(c) $a=1$ ， $b=0$ のとき：実解は無限個(任意の実数 $x$ が実解となる)．

(iii) $m$ が3以上の奇数のとき： $y=x^m$ は狭義単調増加である．
(a) $a\leqq 0$ のとき：実解は1個，
(b) $a\gt0$ ， $|b|\lt \dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は3個，
(c) $a\gt0$ ， $|b|= \dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は2個，
(c) $a\gt0$ ， $|b|\gt \dfrac{a(m-1)}{m}\left(\dfrac{a}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}$ のとき実解は1個

となる．