1925年(大正14年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[1] 二項定理ニヨリ $\sqrt[10]{1000}$ ヲ小數第六位マデ索メヨ．

2022.08.13記
10乗根と1000から，1024を考える．
$x=\dfrac{24}{1024}=\dfrac{3}{128}$ とおくと，
$y=\sqrt[10]{1000}$ $=\sqrt[10]{1024-24}$ $=2(1-x)^{0.1}$
であるから，一般二項定理より
$=2\left(1-0.1x-\dfrac{0.1\times 0.9}{2}-\dfrac{0.1\times 0.9\times 1.9}{2}-\cdots\right)$
として途中で誤差項を評価しても良いが，もうひとひねり．

[解答]
$y=\sqrt[10]{1000}$ $=\sqrt[10]{1024-24}$ $=2\sqrt[10]{1-\dfrac{3}{128}}$ $=2\sqrt[10]{\dfrac{125}{128}}$
$=2\left(1+\dfrac{3}{125}\right)^{-0.1}$ $=2\left(1+\dfrac{24}{1000}\right)^{-1/10}$
であるから， $x=\dfrac{24}{1000}$ とおくと，
一般二項定理と Talyor の定理により
$y=(1+x)^{-1/10}$
$=2\left(1-\dfrac{1}{10}x\right.$ $+\dfrac{1\times 11}{200}x^2$ $+\dfrac{1\times 11\times 21}{6000}x^3$ $\left. -\dfrac{1\times 11\times 21\times 31}{240000}(1+c)^{-41/10}x^4\right)$
なる $0\lt c\lt x$ が存在する．この誤差項
$R=2\times \dfrac{1\times 11\times 21\times 31}{240000}(1+c)^{-41/10}x^4$
について
$|R|=2\times \dfrac{1\times 11\times 21\times 31}{240000}(1+c)^{-41/10}x^4$ $\lt \dfrac{2\times 11\times 21\times 31}{240000}\cdot 1\cdot \dfrac{24^4}{10^{12}}$ $=\dfrac{2\times 11\times 21\times 31\times 24^3}{10^{16}}$ $=\dfrac{197987328}{10^{16}}$ $\lt \dfrac{2}{10^{8}}$
が成立し，
$=2\left(1-\dfrac{1}{10}x\right.$ $+\dfrac{1\times 11}{200}x^2$ $\left. -\dfrac{1\times 11\times 21}{6000}x^3\right)$
$=2-\dfrac{48}{10000}+\dfrac{6336}{10^8}-\dfrac{1064448}{10^{12}}$ $=1.99526229555$
となるので，
$1.99526227555\leqq \sqrt[10]{1000}\leqq 1.99526231555$
となり，
$\sqrt[10]{1000}=1.995262\cdots$
であることがわかり，
$\sqrt[10]{1000}$ を小数第6位まで求めると $1.995262$ となる．

■ 正確には $\sqrt[10]{1000}=1.9952623149\cdots$ である．

[うまい解答]
（誤差項 $R$ の評価から）
$|R|\lt \dfrac{2\times 11\times 21\times 31}{240000}\cdot 1\cdot \dfrac{24^4}{10^{12}}$ $\lt \dfrac{2\times 12\times 25\times 32\times 25^3}{10^{16}}$ $=\dfrac{3}{10^{8}}$
が成立し，
$=2\left(1-\dfrac{1}{10}x\right.$ $+\dfrac{1\times 11}{200}x^2$ $\left. -\dfrac{1\times 11\times 21}{6000}x^3\right)$
$=2-\dfrac{48}{10000}+\dfrac{6336}{10^8}-\dfrac{1064448}{10^{12}}$ $=1.99526229555$
となるので，
$1.99526226555\leqq \sqrt[10]{1000}\leqq 1.99526232555$
となる．（以下略）

■ [うまい解答]では，かなり大胆に評価してもたまたま成功したが，この評価が甘すぎた場合は
$|R|\lt \dfrac{2\times 11\times 21\times 32\times 25^3}{10^{16}}$ $=\dfrac{231}{10^{10}}$
とすれば暗算の範囲でより細かく
$1.99526227245\leqq \sqrt[10]{1000}\leqq 1.99526231865$
と評価できる．