1935年(昭和10年)東京帝國大学工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 曲線 $x=\phi_1(t)$ ， $y=\phi_2(t)$ ， $z=\phi_3(t)$ ノ上ノ點 $(t,0)$ ニ於ケル此ノ曲線ノ切線ヲ含ミ，且ツ此ノ切線上ニアラザル他ノ點 $(a,b,c)$ ヲ含ム平面ノ方程式ヲ求メヨ．

2019.04.04記

[解答]
$t=t_0$ における接線の方程式は $\dfrac{x-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}$ $=\dfrac{y-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}$ $=\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}$ である。
平面束 $\alpha\left(\dfrac{x-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}-\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)+\beta\left(\dfrac{y-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}-\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)=0$
が $(a,b,c)$ を通る条件は
$\alpha\left(\dfrac{a-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}-\dfrac{c-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)+\beta\left(\dfrac{b-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}-\dfrac{c-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)=0$
であるから，求める条件は
$\left(\dfrac{b-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}-\dfrac{c-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)\left(\dfrac{x-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}-\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)$ $=\left(\dfrac{a-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}-\dfrac{c-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)\left(\dfrac{y-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}-\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}\right)$

[別解]
$t=t_0$ における接線の方程式は $\dfrac{x-\phi_1(t_0)}{\phi'_1(t_0)}=\dfrac{y-\phi_2(t_0)}{\phi'_2(t_0)}=\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{\phi'_3(t_0)}$ である。
2点 $(\phi_1(t_0),\phi_2(t_0),\phi_3(t_0))，(a,b,c)$ を通る直線は
$\dfrac{x-\phi_1(t_0)}{a-\phi_1(t_0)}=\dfrac{y-\phi_2(t_0)}{b-\phi_2(t_0)}=\dfrac{z-\phi_3(t_0)}{c-\phi_3(t_0)}$ である。
よって求める方程式は
$\mbox{det}\begin{pmatrix} x-\phi_1(t_0) & y-\phi_2(t_0) & z-\phi_3(t_0)\\ a-\phi_1(t_0) & b-\phi_2(t_0) & c-\phi_3(t_0)\\ \phi'_1(t_0) & \phi'_3(t_0) & \phi'_3(t_0) \end{pmatrix}=0$