2022.08.11記
フェルマー点
2022.08.14記
定三角形を とし,,, とする.また, の重心を とする.
の外側に3つの正三角形 ,, を作り,それらの重心および外接円をそれぞれ ,,および,, とする.
ここで, は のナポレオン三角形であり,
の重心は の重心に一致して となる.
このとき, 上に弦 に対する円周角が となるような点 ,
上に弦 に対する円周角が となるような点 ,
上に弦 に対する円周角が となるような点
を,線分 上に が,線分 上に が,線分 上に がくるように選ぶと, は に外接する正三角形となる.
よって,条件をみたす に対して, の一辺の長さが最大となるようなものを求めれば良い.
さて, の重心を とし,3つの円が1点で交わる点を とする( は の最大内角が 120度未満のとき,フェルマー点である).
このとき, は固定された弦であるから,およびは一定となるので,
は条件をみたす に対して,常に相似な形状をしている.
よって, が最大となるのは, が円 の直径となるときである
(このとき も円 の直径となる(証明は[解答]の後)).
この が最大となる正三角形を 中心に 倍に拡大するとナポレオン三角形に一致するので,求める三角形の一辺の長さは, のナポレオン三角形の一辺の長さの2倍となる.
ここで,,, であるから,
であり, とおくと
,
から
となるので,求める正三角形の一辺の長さは
となり,ヘロンの公式の1つの表現を用いると
となる.
■ が円 の直径となるとき,
だから となり, は円 の直径となる.このとき だから となり, は円 の直径となる.