[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1932-01-16

1932年(昭和7年)東京帝國大學農學部-數學[3]

2022.08.08記

[3] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(a+bx^n)}$ ヲ求ム．

2022.08.08記
$n$ は自然数のつもりな気もしますが，実数だと思っておきます．

[解答]
(i) $n=0$ のとき， $a+b\neq 0$ として，
$\dfrac{\log |x|}{a+b}+(積分定数)$

(ii) $n\neq 0$ のとき，
(a) $a=0$ のとき， $b\neq 0$ として，
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{bx^{n+1}}=-\dfrac{x^{-n}}{bn}+(積分定数)$

(b) $a\neq 0$ のとき，
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(a+bx^n)}$
$=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{bx^{n-1}}{a+bx^n}\right)dx$
$=\dfrac{1}{a}\left(\log |x|-\dfrac{1}{n}\log|a+bx^n|\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{an}\log \left|\dfrac{x^n}{a+bx^n}\right|+(積分定数)$