1941年(昭和16年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.01記

[1] 平面上ノ $x$ 軸， $y$ 軸ノ上ニ夫々原點ヨリノ距離ガ
$\dfrac{at+b}{ct+d}$ ， $\dfrac{\alpha t+\beta}{\gamma t+\delta}$
ナル點ヲトリテコレ等ヲ結ブ直線ヲ作ルトキ，コレ等ノ直線ガスベテノ $t$ ニ對シテ同一ノ點ヲ通ルタメノ條件ヲ求ム。但シ
$ad-bc\neq0$ ， $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$
トス。

2022.06.01記

[解答]
$p=\dfrac{at+b}{ct+d}$ ， $q=\dfrac{\alpha t+\beta}{\gamma t+\delta}$ とおくとき，この2点を通る直線の方程式は
$\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1$
であるから，
$(\alpha t+\beta)(ct+d)x+(at+b)(\gamma t+\delta) y =(at+b)(\alpha t+\beta)$
すなわち，
$(\alpha c x+a\gamma y -a\alpha)t^2$ $+\{(\alpha d+\beta c)x+(a\delta+b\gamma)y-(a\beta+b\alpha)\}$ $+(\beta d x+b\delta y -b\beta)=0$
となる．これが任意の $t$ について同一の点を通る条件は，
$t=0,1,-1$ の場合の3直線
$\beta d x+b\delta y -b\beta=0$ ，
$(\alpha c x+a\gamma y -a\alpha)+\{(\alpha d+\beta c)x+(a\delta+b\gamma)y-(a\beta+b\alpha)\}=0$ ，
$(\alpha c x+a\gamma y -a\alpha)-\{(\alpha d+\beta c)x+(a\delta+b\gamma)y-(a\beta+b\alpha)\}=0$
が1点で交わること，つまり
$\beta d x+b\delta y -b\beta=0$ ，
$(\alpha c x+a\gamma y -a\alpha)=0$ ，
$\alpha d+\beta c)x+(a\delta+b\gamma)y-(a\beta+b\alpha)=0$
が1点で交わることであるから，その必要十分条件は
$\mbox{det}\begin{pmatrix} \alpha c & a\gamma & a\alpha \\ \alpha d+\beta c & a\delta+b\gamma & a\beta+b\alpha \\ \beta d & b\delta & b\beta \end{pmatrix}＝0$
である．
$\mbox{det}\begin{pmatrix} \alpha c & a\gamma & a\alpha \\ \alpha d+\beta c & a\delta+b\gamma & a\beta+b\alpha \\ \beta d & b\delta & b\beta \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\begin{pmatrix} \alpha c & a\gamma & a\alpha \\ \alpha d & a\delta & a\beta \\ \beta d & b\delta & b\beta \end{pmatrix}$ $+\mbox{det}\begin{pmatrix} \alpha c & a\gamma & a\alpha \\ \beta c & b\gamma & b\alpha \\ \beta d & b\delta & b\beta \end{pmatrix}$
$=\{0-\alpha d ab (\gamma\beta-\alpha\delta)+\beta d a^2(\gamma\beta-\alpha\delta)\}$
$+\{\alpha c b^2(\gamma\beta-\alpha\delta)-\beta c ab (\gamma\beta-\alpha\delta)+0\}$
$=(\gamma\beta-\alpha\delta)(-\alpha dab+\beta da^2 +\alpha cb^2 - \beta cab)$
$=(\gamma\beta-\alpha\delta)\{\alpha b(-ad+bc)+\beta a (ad-bc)\}$
$=(\gamma\beta-\alpha\delta)(\alpha b-\beta a)(bc-ad)=0$
と $ad-bc\neq0$ ， $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$ から
$\alpha b=\beta a$
となる．