[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1934年(昭和9年)東京帝國大學工學部-數學[3]

2022.08.10記

[3] 次ノ二平面
a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0，a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0
ノ交線ト，二點(x_1,y_1,z_1)，(x_2,y_2,z_2) トガ同一平面上ニアルタメノ絛件ヲ求メヨ．

本問のテーマ
平面束

2022.08.11記

[解答]
a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0，a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 の交線を通る平面は
p(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+q(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0（p^2+q^2\neq0）
の形をしており，この平面上に2点(x_1,y_1,z_1)，(x_2,y_2,z_2) がある条件は
p(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1)+q(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)=0，
p(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1)+q(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)=0
となることであるから，このような p,q（p^2+q^2\neq0）が存在する条件は
(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1):(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)=(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1):(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)，
つまり
(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1)(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)
=(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1)(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)
となることである．