[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1934年(昭和9年)東京帝國大學工學部-數學[2]

2022.08.10記

[2] 直角ナル二軸 $\rm OX$ ， $\rm OY$ ト一點 ${\rm P}(a,b)$ トアリ， $\rm P$ 點ヲ過リテ一直線ヲ引キ，コノ直線ト二軸トノ間ニ挟マレタル部分ノ面積ヲ最小ナラシメントス，如何ニコノ直線ヲ引クベキヤ．

2022.08.11記
双曲線 $xy=k$ （ $k\neq0$ ）の接線において， $x$ 切片，接点， $y$ 切片は等間隔に並ぶことと対応している．

[解答]
$a,b\gt 0$ として良い．

このとき $\rm P$ を通る直線を $y=-m(x-a)+b$ （ $m\gt 0$ ）とおくと，この直線の $x,y$ 切片はそれぞれ
$a+\dfrac{b}{m}$ ， $b+ma$
であるから，挟まれる面積は
$S=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{b}{m}\right)(b+ma)$ $=ab+\dfrac{1}{2}\left(a^2 m+\dfrac{b^2}{m}\right)$
となる． $m\gt 0$ のとき，AM-GM 不等式より
$S\leqq ab+\sqrt{a^2b^2}=2ab$
が成立し，等号は $m=\dfrac{b}{a}$ で成立する．

等号が成立するときの $x,y$ 切片はそれぞれ
$2a$ ， $2b$
であるから， $\rm P$ が両切片の中点となるように直線を引けば良い．