1937年(昭和12年)東京帝國大學工學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

（二時間半）

[1] $e^{-0.5}$ ガ小数點以下第三桁迄（第四桁ヲ四捨五入シテ） $0.607$ ナルコトヲ知リ，ソノ値ヲ小数點以下第五桁迄求メヨ．但シ $e=2.71828\cdots$ トス．

本問のテーマ

Newton 法

2022.08.23記
手計算で頑張る．

[解答]
$e^{-0.5}=0.607+\varepsilon$ ， $-0.0005\leqq \varepsilon\lt 0.0005$
とおくことができるので，
$e^{-1}=0.368449+1.214\varepsilon+\varepsilon^2$
となり，有効数字6桁で考えて， $\varepsilon^2$ を無視すると
$1=e\cdot e^{-1}\approx 1.00155+3.29999\varepsilon$
となるので，
$\varepsilon\approx -0.0004697$
となり
$e^{-0.5}\approx 0.6065303$
から求める答えは $0060653$ となる．

■ 誤差のみたす2次方程式を1次方程式に近似しているので，これはニュートン法である．
つまり，
$0=f(\alpha+\varepsilon)\approx f(\alpha)+f'(\alpha)\varepsilon$
の近似から $\varepsilon$ の1次方程式を解いて $\varepsilon=-\dfrac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}$ を求めて新しい近似値
$\alpha-\dfrac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}$ を求めている．ここでは $e^{-0.5}$ を
$f(x)=ex^2-1=0$
の解として捉えてニュートン法を用いていることに相当する．実際
$\alpha\mapsto \alpha-\dfrac{e\alpha^2-1}{2e\alpha}$ $=0.0607-\dfrac{2.71828\cdot 0.0607^2 -1}{2\cdot 2.71828\cdot 0.607}$
という計算をしている．