[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1937-01-17

1937年(昭和12年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.08.11記

[4] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+a)^2}$ ヲ求メヨ．

2022.08.23記

[解答]
$I=\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+a)^2}$ とおくと
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{2x\,dx}{x^2(x^2+a)^2}$
だから， $x^2=t$ と置換すると
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(t+a)^2}$
となる．

(i) $a=0$ のとき
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t^3}$ $=-\dfrac{1}{4t^2}+(積分定数)$ $=-\dfrac{1}{4x^4}+(積分定数)$

(ii) $a\neq 0$ のとき
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(t+a)^2}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{a^2}\cdot\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{a^2}\cdot\dfrac{1}{t+a}-\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{(t+a)^2}\right)dt$
$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}\log|t|-\dfrac{1}{a^2}\log|t+a|+\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{t+a}\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{2a^2}\log\left|\dfrac{t}{t+a}\right|+\dfrac{1}{2a(t+a)}+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{2a^2}\log\left|\dfrac{x^2}{x^2+a}\right|+\dfrac{1}{2a(x^2+a)}+(積分定数)$