[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1931-01-16

1931年(昭和6年)東京帝國大學農學部-數學[3]

2022.08.08記
自分で色々設定する．

[3] 抛物線ニ於テ

(a) 其焦點ヲ通リ主軸ニ直角ナル直線ニ依リ切取ラルル部分ノ面積ヲ求メヨ．

(b) 其頂點ニ於ケル曲度半徑ヲ求メヨ．

2022.08.10記

[解答]
(a) 放物線の方程式を $y^2=4px$ とすると焦点の座標は $(p,0)$ だから軸に垂直な直線と放物線との交点の座標は $(p,\pm 2p)$ であるから，求める面積は $\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{4p}\cdot (4p)^3$ $=\dfrac{8}{3}p^2$

(b) $y^2=4px$ 上の点 $\left(\dfrac{t^2}{4p},t\right)$ における法線 $x=-\dfrac{2p}{t}(y-t)+\dfrac{t^2}{4p}$ と $x$ 軸の交点の座標は $\left(\dfrac{t^2}{4p}+2p,0\right)$ であるから， $t\to0$ として曲率中心の座標は $(2p,0)$ となり，よって曲率半径は $|2p|$ となる．