[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1934年(昭和9年)東京帝國大學工學部-數學[1]

2022.08.10記

[1] 下ノ積分ヲ求メヨ．

(a) \displaystyle\int\dfrac{3x+4}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx

(b) \displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x^6}}

2022.08.11記

[解答]
(a) \displaystyle\int\dfrac{3x+4}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx=\displaystyle\int\dfrac{3(x+1)+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx
=3\sqrt{x^2+2x+5}+\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^2+4}}dx
=3\sqrt{x^2+2x+5}+\log|x+1+\sqrt{x^2+2x+5}|+(積分定数)

(b) \sqrt{1+x^6}=t と置換すると 3x^5\,dx=t\,dt から
\displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x^6}}=\displaystyle\int\dfrac{3x^5\,dx}{3x^6\sqrt{1+x^6}}=\displaystyle\int\dfrac{t\,dt}{3(t^2-1)t}=\displaystyle\int\dfrac{dt}{3(t^2-1)}=\dfrac{1}{6}\log\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|+(積分定数)
=\dfrac{1}{6}\log\left|\dfrac{\sqrt{1+x^6}-1}{\sqrt{1+x^6}+1}\right|+(積分定数)