1938年(昭和13年)東京帝國大學農學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

（解答ハ各問題ノ下ノ餘白ニ記載スベシ）

[1] 三角形ノ三邊ヲ測リ各 $a=4$ m， $b=5$ m ， $c=6$ m ヲ得テ其面積ヲ求メントス． $c$ 邊ノ測定ニ $0.06$ m ノ誤リアツタナラバ面積ノ誤差ハ大略何程ニナルカ（小數第三位迄算出セヨ）．

2022.07.27記

[解答]

三角形の面積はヘロンの公式により
$\dfrac{1}{4}\sqrt{(9+c)(9-c)(c-1)(c+1)}$
であるから， $c=6+x$ とおくと，三角形の面積は
$\dfrac{1}{4}\sqrt{(15+x)(3-x)(5+x)(7+x)}$
$=\dfrac{1}{4}\sqrt{3\times5\times 7\times 15+120 x+o(x^2)}$
$=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}\sqrt{1+\dfrac{120}{3\times5\times 7\times 15}x+o(x^2)}$
$=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}\left(1+\dfrac{60}{3\times5\times 7\times 15}x\right)+o(x^2)$
$=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}+\dfrac{\sqrt{7}}{7}x+o(x^2)$
となる．よって面積の誤差は
$\dfrac{0.06\sqrt{7}}{7}=0.02267\cdots$
となる．よって求める答は $0.023$

[別解]

三角形の面積を $S(c)$ とすると，ヘロンの公式により
$16 \{S(c)\}^2$ $=(9+c)(9-c)(c-1)(c+1)$ $=(81-c^2)(c^2-1)$ $=-81+82c^2-c^4$
となる． $f(c)=-81+82c^2-c^4$ とおき， $c=6+x$ とおくと $|x|$ が十分小さいとき，
$16 \{S(6+x)\}^2$ $=f(6)+f'(6)x$ $=3\cdot5\cdot7\cdot15+(164\cdot 6-4\cdot 6^3) x$
と近似できる．このとき，面積の誤差は
$S(6+x)-S(6)$ $=\dfrac{1}{4}\Bigl\{\sqrt{f(6+x)}-\sqrt{f(6)}\Bigr\}$
$\mbox{≒}\dfrac{1}{4}\dfrac{f(6+x)-f(6)}{2\sqrt{f(6)}}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(164\cdot 6-4\cdot 6^3) x}{2\sqrt{3\cdot5\cdot7\cdot15}}$
$=\dfrac{x}{\sqrt{7}}$
となる．よって誤差は
$|S(6+x)-S(6)|$ $=\dfrac{|x|}{\sqrt{7}}$
と一次近似でき，誤差は大体
$\dfrac{0.06\sqrt{7}}{7}=0.02267\cdots$
となる．よって求める答は $0.023$

当時の解答では，
$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ として
$7.47\leqq s\leqq 7.53$ …①，
$3.47\leqq s-a\leqq 3.53$ …②，
$2.47\leqq s-b\leqq 2.53$ …③，
$1.41\leqq s-c\leqq 1.59$ …④
から
$\sqrt{7.47\times 3.47\times 2.47\times 1.41}$ $\leqq S$ $\leqq\sqrt{7.53\times 3.53\times 2.53\times 1.19}$
として
$9.5013\cdots\leqq S\leqq 10.3405\cdots$
から誤差を $0.419$ と求めているが，
①②③の範囲の左側にくるときは，④の範囲の右側にきてしまうので，不等式自体は正しいが，誤差を大きく見積りすぎている．

真面目に計算する場合， $f'(c)$ は $c=6$ の近辺で正で単調増加だから
$f(5.94)=9.89735687899\cdots \leqq f(6)=9.92156741649\cdots \leqq f(6.06)=9.94268702062\cdots$
となるので，誤差は $0.0242105375\cdots$ と $0.02111960412$ の大きい方で
約 $0.024$ である．

解答や別解を2次近似すればより精度が高くなる．その場合
$\sqrt{1+x}$ を2次近似すれば良いが，これは一般二項定理を用いて
$\sqrt{1+x}=1+{}_{1/2}\mbox{C}_1x+{}_{1/2}\mbox{C}_2x^2+o(x^3)$
$=1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{(1/2)(-1/2)}{2\times 1}x^2+o(x^3)$
$=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+o(x^3)$
と求めるのが簡単である．