2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[2] 平面上の点 $\rm P, \, Q, \, R$ が同一直線上にないとき，それらを3頂点とする三角形の面積を $\triangle\rm PQR$ で表す．また， $\rm P, \, Q, \, R$ が同一直線上にあるときは， $\triangle\rm PQR=0$ とする．

$\rm A, \, B, \, C$ を平面上の3点とし， $\triangle \rm ABC=1$ とする．この平面上の点 $\rm X$ が
$\rm 2 \leqq \triangle ABX+\triangle BCX+\triangle CAX \leqq 3$
を満たしながら動くとき， $\rm X$ の動きうる範囲の面積を求めよ．

2020.02.26記
$\alpha>0$ とする．
$\rm \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \leqq 1+2\alpha$ をみたす $\rm X$ の範囲の面積は
$\rm \triangle ABC$ の $f(\alpha)=3(1+\alpha)^2-2+3\alpha^2=6\alpha^2+6\alpha+1$ 倍である．

$\rm \triangle ABC=1$ より，求める面積は $f(1)-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{15}{2}$ である．

ちなみに
$\rm \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \leqq 1+2\alpha$ をみたす $\rm X$ の範囲は　 $-\alpha \rm \triangle ABC$ を $\triangle\rm ABC$ のまわりに少なくとも1点を共有するように平行移動させながら一周したときに得られる図形であるから，ミンコフスキー和を用いて
$\rm \triangle ABC \oplus (-\alpha \triangle ABC)\oplus \alpha \triangle ABC=(1+\alpha)\triangle ABC \oplus (-\alpha \triangle ABC)$
となる．

だからと言って、この問題に関して何かが得られる訳ではなさそうだ。というのも、凸図形 $A$ に対し、ミンコフスキー和 $A\oplus kA$ を考えるとき、 $k\gt 0$ の場合は $A$ を $1+k$ 倍に拡大した図形となるが、 $k\lt 0$ のときに関しては知る限り、それほど知見が得られている訳ではなさそうだからである。面積に関してはブルン・ミンコフスキーの定理から不等号で評価できるものの、等式としては良くわからない(三角形の場合は本問と同様にすれば結果が得られるけれども)。

（2024.02.21追記ここから）
一般の凸図形 $A$ に対しミンコフスキー和 $A\oplus kA$ を考えるとき， $k\gt 0$ の場合は $A$ を $1+k$ 倍に拡大した図形となるが， $k\lt 0$ のときに関しては知る限りそれほど知見が得られている訳ではなさそうで，せいぜい凸図形の対称化 $B=\dfrac{1}{2}(A\oplus -A)$ を用いて
(i) $-1\lt k\lt 0$ のときは $A\oplus kA=(1+k)A\oplus (-k)(A\oplus -A)=(1+k)A\oplus (-2k)B$
(ii) $k\lt -1$ のときは $A\oplus kA=-(k+1)(-A)\oplus (A\oplus-A)=-(k+1)(-A)\oplus 2B$
と変形できることぐらいだろう．

面積に関しては，一般の場合は「ブルン・ミンコフスキーの定理から不等号で評価できるものの，等式としては良くわからない」ようであるが少くとも三角形の場合は本問と同様に比較的簡単に求めることができる．
（ここまで）

なお $k=-1$ の場合は凸図形の対称化 $\dfrac{1}{2}(A\oplus -A)$ として少し知見が得られており，2次元凸図形に関しては周長と直径が $A$ と同じになることが知られている．

2020.02.26追記

[解答]

$\alpha>0$ とする． $\rm \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX+\triangle ABC$ の値は4点 $\rm A,B,C,X$ の凸包の面積の2倍であるから， $\rm \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX+\triangle ABC=2(1+\alpha)$ をみたす $X$ は 4点 $\rm A,B,C,X$ の凸包の面積が $\triangle\rm ABC$ の面積の $1+\alpha$ 倍となるような点 $\rm X$ である．

よってそのような軌跡を考えると，
$\rm A$ 中心に線分 $\rm BC$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの，
$\rm B$ 中心に線分 $\rm CA$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの，
$\rm C$ 中心に線分 $\rm AB$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの
の6つの線分で作られる6角形の辺となる．よって求める面積は $\alpha=1$ の場合の6角形と $\alpha=\dfrac{1}{2}$ の場合の6角形とで挟まれた部分の面積となる．

ここで，6角形の面積は $\alpha$ の関数として $\triangle\rm ABC$ の $f(\alpha)=3\{(1+\alpha)^2-1^2\}+3\alpha^2+1=6\alpha^2+6\alpha+1$ 倍であるから， $\triangle\rm ABC=1$ より，求める面積は $f(1)-f\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)=\dfrac{15}{2}$ である．

2020.02.28追記
この4点の凸包の面積の表現は
1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
で使えると言えば使えなくもない。

2020.03.04記
二次元重心座標(面積座標)を使った方がわかり易いか。

二次元重心座標 - 球面倶楽部零八式 mark II

[大人の解答]

$\alpha>0$ とする．
$\triangle \rm ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \leqq (1+2\alpha)\triangle ABC$
をみたす $\rm X$ の範囲について考える．ここで $\triangle\rm PQR$ の符号付き面積を $f({\rm PQR})$ で表すことにし，
$p=\dfrac{f({\rm BCX})}{f({\rm ABC})}, \quad q=\dfrac{f({\rm CAX})}{f({\rm ABC})},\quad r=\dfrac{f({\rm ABX})}{f({\rm ABC})}$
とおくと $p+q+r=1$ かつ $|p| + |q| + |r| =1+2\alpha$ のときの $\overrightarrow{\rm OX}=p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB}+r\overrightarrow{\rm OC}$ なる $\rm X$ の範囲となる．

(i) $p,q,r$ が全て非負のとき：
$p+q+r=1$ かつ $|p|+|q|+|r|=1+2\alpha$ とはならない．

(ii) $p,q,r$ のうち，1つだけ負で残りの2つが非負のとき：
例えば $p\lt 0$ とすると， $p+q+r=1$ かつ $-p+q+r =1+2\alpha$ から $p=-\alpha$ となる．このとき，
$\overrightarrow{\rm OX}=-\alpha\overrightarrow{\rm OA}+(1+\alpha)\dfrac{q\overrightarrow{\rm OB}+r\overrightarrow{\rm OC}}{q+r}$
つまり $\overrightarrow{\rm AX}=(1+\alpha)\dfrac{q\overrightarrow{\rm AB}+r\overrightarrow{\rm AC}}{q+r}$
なる $\rm X$ の範囲となる．これは線分 $\rm BC$ を $\rm A$ 中心に $1+\alpha$ 倍に拡大したものとなる．

同様に $q\lt 0$ のときは線分 $\rm CA$ を $\rm B$ 中心に $1+\alpha$ 倍に拡大したもの， $r\lt 0$ のときは線分 $\rm AB$ を $\rm C$ 中心に $1+\alpha$ 倍に拡大したものとなる．

(iii) $p,q,r$ のうち、1つだけ非負で残りの2つが負のとき：
例えば $q,r\lt 0$ とすると $p+q+r=1$ かつ $p-q-r =1+2\alpha$ から $p=1+\alpha$ となる．このとき
$\overrightarrow{\rm OX}=(1+\alpha) \overrightarrow{\rm OA}-\alpha\dfrac{|q|\overrightarrow{\rm OB}+|r|\overrightarrow{\rm OC}}{|q|+|r|}$
つまり
$\overrightarrow{\rm AX}=-\alpha \dfrac{|q|\overrightarrow{\rm AB}+|r|\overrightarrow{\rm AC}}{|q|+|r|}$
なる $\rm X$ の範囲となる．これは線分 $\rm BC$ を $\rm A$ 中心に $-\alpha$ 倍に拡大したものとなる．

同様に $r,p\lt 0$ のときは線分 $\rm CA$ を $\rm B$ 中心に $-\alpha$ 倍に拡大したもの， $p.q\lt 0$ のときは線分 $\rm AB$ を $\rm C$ 中心に $-\alpha$ 倍に拡大したものとなる．

(iv) $p,q,r$ が全て負のとき：
$p+q+r=1$ とはならない．

以上から $\rm \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \leq (1+2\alpha)\triangle ABC$ をみたす $\rm X$ の範囲は

$\rm A$ 中心に線分 $\rm BC$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの，
$\rm B$ 中心に線分 $\rm CA$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの，
$\rm C$ 中心に線分 $\rm AB$ を $1+\alpha$ 倍拡大したもの及び $-\alpha$ 倍拡大したもの
の6つの線分で作られる6角形の辺となる．よって求める面積は $\alpha=1$ の場合の6角形と $\alpha=\dfrac{1}{2}$ の場合の6角形とで挟まれた部分の面積となる．

2024.02.21追記
ミンコフスキー和に関して，大数2021年1月号の宿題で出題された．