2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.07.27記

[1] $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}=2$ の直角二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ の各辺に接し，ひとつの軸が辺 $\mbox{BC}$ に平行な楕(だ)円の面積の最大値を求めよ．

2020.07.27記
本問を一般化した問題「ある三角形の各辺に接する楕円の面積が最大となるのはどのような場合か」について考える．

これは，楕円を単軸方向に円に拡大し，円を単位円に拡大することにより，「内接円の半径が1となる三角形の面積が最小となるのはどのような場合か」という問題に帰着できる．

この問題を解く．

$\rm \triangle ABC$ の面積 $S$ は、内接円の半径を $1$ とするとき
$S=\dfrac{1}{\tan (A/2)}+\dfrac{1}{\tan (B/2)}+\dfrac{1}{\tan (C/2)}$
となり， $\dfrac{1}{\tan x}$ は上に凸であることから、Jensen の不等式から
$S\geqq \dfrac{3}{\tan \dfrac{A+B+C}{6}}=3\sqrt{3}$
となる．等号成立は $\rm \triangle ABC$ が正三角形のとき．

よって，一般に三角形に内接する楕円の面積が最大になるのは，その楕円が円になるように拡大すると、もとの三角形が正三角形となる場合である．そしてこのとき，楕円の面積の最大値は，三角形の面積の $\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$ 倍となる．

本文の場合，ひとつの軸が辺 $\rm BC$ に平行な楕円を円に拡大するには， $y$ 軸方向に拡大することとなり，直角三角形 $\rm ABC$ を $y$ 軸方向に拡大することにより，正三角形とすることができるので，「三角形に内接するあらゆる楕円」を「ひとつの軸が辺 $\rm BC$ に平行な楕円」と条件を厳しくしても、等号が成立する場合を含んでいることになる．

よって求める最大値は、直角三角形の面積の $\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$ 倍となり，直角三角形の面積は1であるから，最大値は $\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$ となる．

[解答]
楕円が円となるように $y$ 軸方向に $h=\tan\theta$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）倍拡大したとき，その円の半径を $r$ とすると、三角形 $\rm ABC$ の面積を2通りで表現することにより、 $\tan\theta=h=\Bigl(1+\dfrac{1}{\cos\theta}\Bigr)r=\dfrac{1+\cos\theta}{\cos\theta}r$ ，つまり $r=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ が成立する．

そしてもとの楕円の面積 $S$ は $S=\dfrac{\pi r^2}{h}=\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{(1+\cos\theta)^2}\pi$ となる．

$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと $0\lt t\lt 1$ かつ $S=\dfrac{t(1-t^2)}{2}\pi$ となり，これは $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で最大値 $\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$ をとる．