2022.07.24記
[2] 三角形ノ邊,上ニ夫々點,ヲトリ ナラシムルトキ,直線ノ包絡線ハ何カ.
本問のテーマ
アフィン変換により包絡線は包絡線にうつる
2022.08.06記
[大人の解答]
とおく.
とおく.
,,
なるアファイン変換によって
,
に移り,直線 は
に移る.この直線の包絡線は,この式を で偏微分した
と連立させることにより,
を得る.このパラメータ表示は
, であるから,放物線 を線形変換したものとなり,放物線である.
この放物線は で を通り,接ベクトルは と 軸に平行となり, で を通り,接ベクトルは と 軸に平行となる.
以上から,求める包絡線は
「 で辺 に接し, で辺 に接する放物線」
となる.
なお, から
のとき となり,これが放物線となることは基本知識である.
直線 の式を
とみるとこれは の2次方程式であり,この場合,包絡線の式は判別式
によって得られる.実際,これにを代入すればきちんと が消去されていることがわかる.
アフィン変換を用いずに解こうとすると,
のように求めることができるが,ここで得られた一般の位置にある2次曲線が、「放物線」であり,「 で三角形の辺に接する」ことを示すのは面倒であり,当時の解答では,「 を通る放物線」であることは示していたが, で接していない略図を載せているものもあった.