1940年(昭和15年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.20記

（二時間）

[1] 次ノ函数ノぐらふヲ畫ケ．
$f(x)=\sin x+\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}$

本問のテーマ

2022.07.23記

鋸波とは， $g(x)=x$ （ $-\pi\lt x\lt \pi$ ）を周期 $2\pi$ で繰り返したものであり，そのフーリエ級数展開は
$g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}2(-1)^{n-1}\dfrac{\sin nx}{n}$
である．この鋸波を $x$ 軸方向に $\pi$ だけ平行移動して， $x$ について対称移動させて $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍拡大させたグラフを $h(x)$ とすると
$h(x)=-\dfrac{1}{2}g(x-\pi)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\sin nx+n\pi}{n}$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n}\dfrac{\sin nx}{n}$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx}{n}$
となる．これは $y=\dfrac{\pi-x}{2}$ （ $0\lt x\lt 2\pi$ ）を周期 $2\pi$ で繰り返したものである．

この $h(x)$ のフーリエ級数展開のはじめの3項が，問題文の $f(x)$ である．

このことから， $y=f(x)$ （ $0\lt x\lt \pi$ ）の部分は $y=\dfrac{\pi-x}{2}$ ，つまり $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ と $(\pi,0)$ を結ぶ線分に近い形になることがわかる．

[解答]
$f(x)$ は奇関数で周期が $2\pi$ であるから， $0\leqq x\leqq \pi$ で考察すれば十分である．

$f(x)=\sin x \left(2+\cos x-\dfrac{4}{3}\sin^2 x\right)$
$=\dfrac{1}{3}\sin x (4\cos^2 x+3\cos x+2)$
$=\dfrac{1}{3}\sin x \left\{ \left( 2\cos\theta +\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}\right\}$
より $0\leqq x\leqq \pi$ では $f(x)=0$ の解は $x=0,\pi$ となる．

$f'(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$ $=2\cos 2x\left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)$
より， $0\leqq x\leqq \pi$ で $f'(x)=0$ となるのは
$\dfrac{1}{4}\pi,\dfrac{2}{3}\pi,\dfrac{3}{4}\pi$ である．

よって $f(x)$ の $0\leqq x\leqq \pi$ における増減表は

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{4}\pi$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}\pi$	$\cdots$	$\dfrac{3}{4}\pi$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	$\dfrac{4\sqrt{2}+3}{6}$	$\searrow$	$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$	$\nearrow$	$\dfrac{4\sqrt{2}-3}{6}$	$\searrow$	$0$