2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.07.28記

[3] $a\gt 0$ とする．正の整数 $n$ に対して，区間 $0\leqq x\leqq a$ を $n$ 等分する点の集合 $\left\{ 0, \dfrac{a}{n}, …, \dfrac{n-1}{n}a, a \right\}$
の上で定義された関数 $f_n(x)$ があり，次の方程式を満たす．
$\left\{\begin{array}{l} f_n(0)=c, \\ \dfrac{f_n(((k+1)h))-f_n(kh)}{h}\\ \quad\quad=\{1-f_n(kh)\}f_n((k+1)h) \\ \quad\quad\quad（k=0，1，…，n-1） \end{array}\right.$

ただし， $h=\dfrac{a}{n}$ ， $c\gt 0$ である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $p_k=\dfrac{1}{f_n(kh)}$ （ $k=0$ ， $1$ ，…， $n$ ）とおいて $p_k$ を求めよ．

(2) $g(a)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n(a)$ とおく． $g(a)$ を求めよ．

(3) $c=2$ ， $1$ ， $\dfrac{1}{4}$ それぞれの場合について， $y=g(x)$ の $x\gt 0$ でのグラフをかけ．

2020.07.28記
微分方程式 $g(0)=c$ ， $g'(x)=\{1-g(x)\}g(x)$ を差分方程式で近似したものが与えられた方程式であるから，この差分方程式は $n\to\infty$ で微分方程式に一致する．
この微分方程式を変数分離型として解く．

$\dfrac{dg}{(1-g)g}=dx$ から $\displaystyle \int\Bigl(\dfrac{1}{g}-\dfrac{1}{g-1}\Bigr)dg=\int dx$ となり， $\log \left|\dfrac{g}{g-1}\right| = x+K$ ( $K$ は積分定数)となる．

$1-\dfrac{1}{g} =\pm e^{-K} e^{-x}$ と $g(0)=c$ から $1-\dfrac{1}{g} =\Bigl(1-\dfrac{1}{c}\Bigr) e^{-x}=\dfrac{(c-1)e^{-x}}{c}$ となり， $g(x) =\dfrac{c}{c-(c-1)e^{-x}}=\dfrac{ce^x}{ce^x-c+1}$ となる。