1994年(平成6年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.07.27記

[1] $xy$ 平面上で，次の条件を満たす点 $(x,y)$ の範囲を $D$ とする．
$\log_2 x\leqq 2+\log_2 y \leqq \log_2 x + \log_2 (4-2x)$

(1) $D$ を $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) $s<1$ のとき， $y-sx$ の $D$ 上での最大値 $f(s)$ を求め，関数 $t=f(s)$ のグラフを $st$ 平面上に図示せよ．

2020.07.27記

ルジャンドル変換。普通は下に凸な関数 $f(x)$ から下に凸な関数 $f^{\ast} (p)$ への変換で、 $\displaystyle f^{\ast} (p) = \max_{x} \{px-f(x)\}$ によって定義される．

$y=-f(x)$ ， $s=-p$ とおくと， $\displaystyle f^{\ast} (-s) = \max_{x} \{y-sx\}$ となるので，本文の場合は $D$ を $x$ 軸に関して折り返したものの Legendre 変換を $y$ 軸に関して折り返したものを考えていることになる．

要するに， $D$ を原点について対称移動した図形 $E$ の Legendre 変換を考えれば良い．

$E$ の境界として登場する下に凸な部分、 $y=g(x)=\dfrac{x^2+2x}{2}$ （ $-\dfrac{3}{2}\leqq x\lt 0$ ）の Legendre 変換は、微分、逆関数、積分を経て
$\dfrac{x^2+2x}{2} \to x+1 \to s-1 \to f(s)=\dfrac{(s-1)^2}{2}+C$
となる．積分定数 $C$ は、 $y=\dfrac{x^2+2x}{2}$ の原点を通る接線の傾きが $1$ であることから、 $f(1)=0$ となり， $C=0$ となる。

この範囲で， $\dfrac{x^2+2x}{2}$ の接線の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ 以上、 $1$ 未満であるから
$f(s)=\dfrac{(s-1)^2}{2}$ （ $-\dfrac{1}{2}\leqq s\lt 0$ ）となる．

$s\leqq-\dfrac{1}{2}$ のときは， $\dfrac{(s-1)^2}{2}$ の $s=-\dfrac{1}{2}$ における接線 $-\dfrac{3}{2}s+\dfrac{3}{8}$ であるから、この範囲で $f(s)=-\dfrac{3}{2}s+\dfrac{3}{8}$ となる．

以上から，
$f(s)=\left\{\begin{array} {}-\dfrac{3}{2}s+\dfrac{3}{8} & (s\leqq-\dfrac{1}{2}) \\ \dfrac{(s-1)^2}{2} & (-\dfrac{1}{2}\leqq s\lt 0) \end{array}\right.$
となる．

[解答]
(1) 与えられた不等式は
$\log_2\dfrac{x}{4} \leqq \log_2 y \leqq \log_2 \dfrac{x(2-x)}{2}$ （真数条件から $0\lt x\lt 2$ ）となるので、
$\dfrac{x}{4}\leqq y\leqq \dfrac{x(2-x)}{2} \quad (0\lt x\leqq 2)$
となる（図示略）

(2) $y-sx$ が最大になるのは、 $y=\dfrac{x(2-x)}{2}$ のときで、 $0\lt x\leqq\dfrac{3}{2}$ における $h(x)=y-sx$ の最大値を求めれば良く，

$h(0)=0$ （含まない），
$h\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)=-\dfrac{3}{2}s+\dfrac{3}{8}$ ，
$h(1-s)=\dfrac{(s-1)^2}{2}$ （ $0\lt 1-s\leqq\dfrac{3}{2}$ ，つまり ${}-\dfrac{1}{2}\leqq s\lt 0$ ）

のうち最大なものを繋ぐことにより，
$f(s)=\left\{\begin{array} {}-\dfrac{3}{2}s+\dfrac{3}{8} & (s\leqq-\dfrac{1}{2}) \\ \dfrac{(s-1)^2}{2} & (-\dfrac{1}{2}\leqq s\lt 0) \end{array}\right.$
となる．

Legendre 変換について、 $\displaystyle f^{\ast}(p)=\max_x \{px-f\} \geqq px -f(x)$ から Young の不等式 $f(x) + f^{\ast}(p)\geqq px$ が導かれる。

2020.07.28記
Young の不等式の例題は
2006年(平成18年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照