[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942-01-16

1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)農學部-數學[3]

2022.05.29記

[3] $\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx$ ヲ求メヨ．

2022.05.30記

[解答]
$\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
( $C$ は積分定数)

Euler Substitution と呼ばれる $x=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{a^2}{t}\right)$ という置換もしくは，双曲線関数 $x=a\sinh t$ による置換．

いずれにせよ，双曲線 $y^2-x^2=a^2$ のパラメータ表示が基礎になっている．双曲線上の点を $(x,y)=(f(t),g(t))$ とパラメータ表示できれば，
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx=\int g(t)f'(t)dt$
と置換積分できるという仕組みになっている．