2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[4] 座標平面上の曲線
$C:y=x^3-x$ を考える。

(1) 座標平面上のすべての点 $\rm P$ が次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点 $\rm P$ を通る直線 $\ell$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点 $\rm P$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点 $\rm P$ を通る直線 $\ell$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わり，かつ，直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

2022.02.26記

[解答]

(1) $C$ の点 ${\rm T}(t,t^3-t)$ における接線が点 ${\rm P}(p,q)$ を通るための $t$ の条件は
$q=(3t^2-1)(p-t)+(t^3-t)$
となるが，これは実数係数の3次方程式だから，必ず解をもつ．つまり，

座標平面上のすべての点 $\rm P$ に対し，点 $\rm P$ を通る $C$ の接線が存在する

ことがわかる。このような接線が，変曲点を通る接線しかない場合について考えると，
$q=(3t^2-1)(p-t)+(t^3-t)$
の実数解が $t=0$ だけとなる場合であり，そのためには $q=-p$ であることが必要であるが，このとき，
$t^2(2t+3p)=0$
となるので， $p=q=0$ が必要十分，つまり $\rm P$ が $C$ の変曲点である原点のときに限る。

(a) $\rm P$ が $C$ の変曲点である原点とは異なるとき，
$\rm P$ を通る $C$ の接線で接点の $x$ 座標が 0 でないものが存在する。

このとき，この $x$ 座標を $t$ とおくと，この接線と $C$ は接点以外の交点 $(-2t,-8t^3+2t)$ ももつ。この接線の傾きを十分小さくずらすことにより接点が交点となるようにすると，
$x=t$ の近辺に交点が2個、 $x=-2t$ の近辺に交点が1個と，
この直線と $C$ は相異なる3点で交わる。