[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1955年(昭和30年)東京大学-数学(幾何)[2]

2022.02.10記

[2] 定直線 $l$ とこれに接する定円 $\rm O$ とがある．この円の任意の直径の両端を通り定直線 $l$ に接する円の中心の軌跡を求めよ．またその図をえがけ．

2022.02.10記
座標設定して「束」を使おう。

[解答]
$l$ を $y=-r$ ，円 $\rm O$ を $x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ）とする。

条件をみたす円を ${\rm O'}:(x-X)^2+(y-Y)^2=(Y+r)^2$ （ $Y\gt 0$ ）とおくと，円 ${\rm O'}$ と円 $\rm O$ が異なる2点で交わるとき，その2点を通る直線の方程式は
$(x-X)^2+(y-Y)^2-(x^2+y^2)=(Y+r)^2-r^2$ ，
つまり
$2Xx+2Yy=X^2-2rY$
となる。この直線（但し $(X,Y)=(0,0)$ のときは直線を表さない）を $m$ とする。

このとき，円 ${\rm O'}$ と円 $\rm O$ が異なる2点で交わることと，円 $\rm O$ と直線 $m$ が異なる2点で交わることは同値である。よって， $m$ が円 $\rm O$ の直径となるならば円 ${\rm O'}$ と円 $\rm O$ は必ず異なる2点で交わる。

$m$ が，円 $\rm O$ の直径となる必要十分条件は $(X,Y)\neq (0,0)$ かつ原点を通ること，つまり

$X^2-2rY=0$ かつ $(X,Y)\neq (0,0)$

となる。ここで $(X,Y)=(0,0)$ のとき，円 ${\rm O'}$ と円 $\rm O$ が一致するので，題意をみたすので
求める軌跡は放物線 $x^2=2ry$ 全体となる。

この放物線の焦点は $\left(0,\dfrac{r}{2}\right)$ であり，準線は $y=-\dfrac{r}{2}$ である。