[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1938年(昭和13年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.07.24記

[2] 直交軸ニ關シ\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1ナル楕圓ヲ二直線y=\pm xニテ截ルトキ，短軸ヲ含ム一ツノ扇形ノ面積ヲ求メヨ．

2022.07.24記

[解答]
y軸方向に\dfrac{a}{b}倍に拡大すると，x^2+y^2=a^2をy=\pm\dfrac{a}{b}x で切ったときにできる扇形の面積の小さい方となり，その面積を \dfrac{b}{a}倍したものが答となる．

できる扇形の面積は
\pi a^2 \cdot \dfrac{2\,\mbox{Arctan}\dfrac{a}{b}}{2\pi}=a^2 \cdot \mbox{Arctan}\dfrac{a}{b}とa^2 \cdot\mbox{Arctan}\dfrac{b}{a}
の2種類であるから，求める面積は
\min\Bigl\{ab\,\mbox{Arctan}\dfrac{a}{b}，ab\,\mbox{Arctan}\dfrac{b}{a}\Bigr\}
である．