[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1933年(昭和8年)東京帝國大學理學部-數學[2]

2022.08.10記

[2] 直交軸ニ關シ抛物線y^2=4dxト其焦點ヲ過ル任意ノ直線トニテ圍マレタル部分ノ面積ヲ計算シ，且ツソノ最小値ヲ索メヨ．

2022.08.11記
自分で設定する．

[解答]
焦点 (d,0) を通る直線を x=my+d とおく．直線と放物線との2交点を y=\alpha,\beta とすると，
y^2-4dmy-4d^2=0 の2解がy=\alpha,\betaだから
(\beta-\alpha)^2=16d^2(m^2+1)
が成立するので，囲まれる面積は\dfrac{1}{6}公式から
\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{4d}\cdot 64d^3(m^2+1)^{3/2}=\dfrac{8d^2}{3}(m^2+1)^{3/2}
となる．これが最小となるのは m=0 のときで，最小値は \dfrac{8d^2}{3}