[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)工學部-數學[3]

2022.05.29記

[3] 方程式
y=Axe^{-ax}\sin(bx+\varphi)(a\gt 0)
の表はす曲線に於て，\varphi を變化させた場合の包絡線が，x\geqq 0 の部分に於いて圍む面積を求めよ．

本問のテーマ
包絡線

2022.05.29記
正弦の値が \pm1 のときに y=\pm Ax\sin e^{-ax} に接することはすぐに理解できるだろう．

[解答]
y=Axe^{-ax}\sin(bx+\varphi) を \varphi で微分すると
0=Axe^{-ax}\cos(bx+\varphi)
となるので，2式から \varphi を消去するとy^2=A^2x^2e^{-2ax} となり，
y=\pm Axe^{-ax}
となるので，求める面積は
2|A|\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-ax}dx=2|A|\Bigl[-e^{-ax} \left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{a^2}\right)\Bigr]_0^{\infty}=\dfrac{2|A|}{a^2}
となる．