[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1967年(昭和42年)東京大学-数学(文科)[5]

2020.09.29記

[5] だ円 $\dfrac{x^2}{a}+ay^2=1$ （ $a\gt 0$ ）を考える． $a$ がすべての正の実数をとって動くとき，これらのだ円の上にある点全体はどのような範囲にあるか，その範囲を決定せよ．なお，それを図示せよ．

2022.05.02記
両軸が $x,y$ 軸に平行で面積が1の楕円の包絡線は $(xy)^2=\dfrac{1}{4}$ になるというお話．
面積が一定なので， $x$ 軸方向に $k$ 倍したら $y$ 軸方向に $1/k$ 倍され，この変換で不変な曲線 $xy=一定$ が包絡線となる．面積が1であるときの接点が $(\pm 1/\sqrt{2},\pm 1/\sqrt{2})$ だから $xy=\pm\dfrac{1}{2}$ となる．

[解答]
$y^2a^2-a+x^2=0$ が少なくとも1つの正の解をもつ条件を求めれば良い．

(i) $y=0$ のとき $x\neq 0$

(ii) $y\neq 0$ のとき $1-4x^2y^2\geqq 0$

だから， $|xy|\leqq\dfrac{1}{2}$ から原点を除いた領域となる．

包絡線の方程式は $x^2+a^2y^2=a$ 　と，それを $a$ で微分した　 $2ay^2=1$ から $a$ を消去すると $x^2y^2=1/4$ のように得られる．