1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[3] ${\rm AD}=a$ ， ${\rm BC}=b$ ， $\rm AD\parallel BC$ なる台形がある．対角線 $\rm AC，BD$ の交点を ${\rm P}_1$ とし，
$\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_1$ を ${\rm P}_1{\rm Q}_1\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．次に， ${\rm AQ}_1$ ， ${\rm DP}_1$ の交点を ${\rm P}_2$ とし， $\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_2$ を ${\rm P}_2{\rm Q}_2\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．次に， ${\rm AQ}_2$ ， ${\rm DP}_2$ の交点を ${\rm P}_3$ とし， $\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_3$ を ${\rm P}_3{\rm Q}_3\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．以下同様にくりかえして， $n$ 回目にできる線分 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ の長さを $x_n$ とするとき

(1) $x_n$ を $a$ ， $b$ ， $n$ で表わせ．

(2) $\triangle{\rm DP}_{n+1}{\rm Q}_n$ の面積を $F_n$ とするとき $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} F_n$ を求めよ．

ただし， $\angle \rm DBC=\beta，\angle DCB=\gamma$ とする.

[zu]

2022.02.19記
透視図法の描き方。

床に長方形のタイルがしきつめられたときにどのように描けば良いかという話。 ${\rm D}$ が無限遠点(消失点)で ${\rm AD}$ が水平線としたとき， ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm Q}_{n+1}{\rm P}_{n+1}$ がすべて合同な長方形であるものの透視図の描き方を説明したものである。

一般にこの構図だと、レンズの公式 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$ と同等な式が登場する。ただし透視図 $f$ の長さは半分にとっているので $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c}$ という関係式が成立し， $a,c,b$ はこの順番に調和数列(逆数が等差数列)をなすことになる．

ちなみに，三角形の面積公式として，一辺両端角の
$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{c^2\sin A\sin B}{\sin(A+B)}$
というものがある．これは正弦定理から，
$S=\dfrac{1}{2}\cdot ab\sin C$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{c\sin A}{\sin(A+B)}\cdot \dfrac{c\sin B}{\sin(A+B)}\cdot \sin(A+B)$
のように直ちに導かれる．

[大人の解答]

(1) 透視図の描き方から $x_n$ は調和数列となる，つまり $y_n=\dfrac{1}{x_n}$ は等差数列である．

$x_0={\rm BC}=b$ とおくと， $y_0=\dfrac{1}{b}$ であり， $y_n$ の公差は $\dfrac{1}{\rm AD}=\dfrac{1}{a}$ であるから，
$y_n=\dfrac{1}{b}+\dfrac{n}{a}=\dfrac{a+bn}{ab}$
となる．よって $x_n=\dfrac{ab}{a+bn}$ となる．

[解答]
(1) ${\rm P}_0={\rm B}$ ， ${\rm Q}_0={\rm C}$ とおく．
このとき，
$\triangle{\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm P}_{n+1}$ と $\triangle{\rm DAP}_{n+1}$ は相似比 $x_n:a$ の相似であるから，
$x_{n+1}={\rm P}_{n+1}{\rm Q}_{n+1}$ $={\rm P}_{n}{\rm Q}_{n}\times\dfrac{\rm AD}{{\rm P}_{n}{\rm Q}_{n}+{\rm AD}}$ $=\dfrac{ax_n}{x_n+a}$
が成立する．逆数をとると
$\dfrac{1}{x_{n+1}}=\dfrac{1}{x_n}+\dfrac{1}{a}$
となり， $\dfrac{1}{x_0}=\dfrac{1}{b}$ から
$\dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{n}{a}=\dfrac{a+bn}{ab}$
となる．よって $x_n=\dfrac{ab}{a+bn}$ となる．

(2) $\triangle{\rm DBC}=S$ とおくと， $S=\dfrac{b^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$ である．

$F_n=S\cdot\dfrac{x_{n+1}}{b}\cdot\dfrac{x_{n}}{b}=\dfrac{S}{b^2}\cdot x_nx_{n+1}$
であり，
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_{n}}=\dfrac{x_n-x_{n+1}}{x_nx_{n+1}}$
から
$F_n=\dfrac{aS}{b^2}(x_n-x_{n+1})$
となるので， $x_n=\dfrac{ab}{a+bn}\to 0$ （ $n\to\infty$ ）から
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} F_n$ $\displaystyle =\dfrac{aS}{b^2} \sum_{n=1}^{\infty} (x_n-x_{n+1})$ $\displaystyle =\dfrac{aSx_1}{b^2}$ $\displaystyle =\dfrac{a^2b\sin\beta\sin\gamma}{2(a+b)\sin(\beta+\gamma)}$
となる．