[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1946年(昭和21年)東京帝國大學醫學部藥學科-數學[3]

2022.07.16記

[3]曲線b^2 y^2 +x(x-2a)^3=0（a>0，b>0）で圍まれる區域の面積を求めよ．

本問のテーマ
ベータ関数とウォリス積分

2022.07.16記
ベータ関数
B(s,t)=\displaystyle\int_0^1 x^{s-1} (1-x)^{t-1}dt
で x=\sin^2\theta と置換すると
B(s,t)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{2s-1}\theta \cos^{2t-1}\theta d\theta
となることは有名．

[解答]
図形 y^2の関数であるからは x 軸対称であり，
b^2 y^2 =-x(x-2a)^3\geqq 0 から 0\leqq x\leqq 2a
である．このとき
y=\dfrac{1}{b}\sqrt{x(2a-x)^3}
であるから，求める面積は
S=\dfrac{2}{b}\displaystyle\int_0^{2a} x^{1/2} (2a-x)^{3/2} dx
となる．x=2a\sin^2\theta と置換すると
dx=4a\sin\theta\cos\theta d\theta
より
S=\dfrac{32a^3}{b}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta \cos^4\theta d\theta =\dfrac{32a^3}{b}\displaystyle\int_0^{\pi/2} (\cos^4\theta -\cos^6\theta)d\theta =\dfrac{32a^3}{b}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} \cdot\left(1-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{a^3}{b}\pi

ベータ関数の積分をガンマ関数を経由して求めると
S=\dfrac{2}{b}\displaystyle\int_0^{2a} x^{1/2} (2a-x)^{3/2} dx=\dfrac{2(2a)^3}{b}B(3/2,5/2)=\dfrac{2(2a)^3}{b}\dfrac{\Gamma(3/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(4)}=\dfrac{2(2a)^3}{b}\dfrac{(1/2)\sqrt{\pi}\cdot (3/2)(1/2)\sqrt{\pi}}{3!}=\dfrac{a^3}{b}\pi
のようになる．