[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1949年(昭和24年)東京大学(旧制)工学部-数学[2]

[2] 直交軸 $xy$ に關して $y=\dfrac{\cos\pi x}{\dfrac{1}{4}-x^2}$ の表わす曲線を追跡せよ．

本によっては

[2] 直交軸 $xy$ に關して $y=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{2} x}{1-x^2}$ の表わす曲線を追跡せよ．

になっている（こちらは1936年(昭和11年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR）．

2022.07.20記

[解答]
$f(x)=\dfrac{\cos\pi x}{\dfrac{1}{4}-x^2}=\dfrac{4\cos\pi x}{1-4x^2}$ とおくと　 $y=f(x)$ は偶関数であり， $\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}} \dfrac{-\pi \sin\pi x}{-2x}=\pi$ であるから，2点 $\left(\pm\dfrac{1}{2},\pi\right)$ を追加すると連続関数となる．

$y$ 軸との交点は $(0,4)$ であり，
$x$ 軸との交点は $\left(\dfrac{2n+1}{2},0\right)$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ， $n\neq -1,0$ ）である．

$y=f(x)$ は減衰振動であり， $y=\dfrac{4}{1-4x^2}$ に $x=2n\pi$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）のときに接し， $y=-\dfrac{4}{1-4x^2}$ に $x=(2n+1)\pi$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）のときに接する曲線である．

[

w500]

$f'(x)=0$ を解くと $\tan \pi x=-\dfrac{8x}{\pi(1-4x^2)}$ という方程式が登場するが，これは解けないので増減については考えないことにした．