1949年(昭和24年)東京大学(旧制)工学部-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 次の連立方程式
$\left| \begin{matrix} 1+a & b & c \\ c & 1+b & a \\ a & b & 1+c \end{matrix} \right|=1$ ， $\left| \begin{matrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{matrix} \right|=\dfrac{5}{3}$ ， $\left| \begin{matrix} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{matrix} \right|=\dfrac{4}{9}$
を滿足する $a$ ， $b$ ， $c$ の値の組合せを求めよ．

2022.07.20記

[解答]
行列式を展開すると
$a+b+c+1=1$ ， $2abc-ab-bc-ca+1=\dfrac{5}{3}$ ， $4a^2b^2c^2=\dfrac{4}{9}$
から
$a+b+c=0$ ， $2abc-ab-bc-ca=\dfrac{2}{3}$ ， $abc=\pm\dfrac{1}{3}$
となる．

(1) $abc=\dfrac{1}{3}$ のとき
$a+b+c=0$ ， $ab+bc+ca=0$ ， $abc=\dfrac{1}{3}$
から $a,b,c$ は $t$ についての3次方程式
$t^3-\dfrac{1}{3}=0$ の3解であるから
$\{a,b,c\}=\left\{\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}},\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2\sqrt[3]{3}},\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2\sqrt[3]{3}}\right\}$

(1) $abc=-\dfrac{1}{3}$ のとき
$a+b+c=0$ ， $ab+bc+ca=-\dfrac{4}{3}$ ， $abc=\dfrac{1}{3}$
から $a,b,c$ は $t$ についての3次方程式
$t^3-\dfrac{4}{3}t+\dfrac{1}{3}=(t-1)\left(t^2+t-\dfrac{1}{3}\right)=0$ の3解であるから
$\{a,b,c\}=\left\{1,\dfrac{-3+\sqrt{21}}{6},\dfrac{-3-\sqrt{21}}{6}\right\}$