1953年(昭和28年)東京大学-数学(幾何)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 一辺の長さが $a$ なる正 $n$ 角形の紙片から，その中心 $\rm O$ を頂点とし，その一辺 $\rm AB$ を底辺とする三角形 $\rm OAB$ を切り取り， $\rm OA$ と $\rm OB$ を一致させて，底面が正 $(n-1)$ 角形で頂点 $\rm O$ なる角錐を作る時，その容積はいくらか．

2024.09.23記

[解答]
一辺の長さが $a$ なる正 $n$ 角形の1辺を底辺とし中心を頂点とする2等辺三角形の頂点から底辺へ下した垂線の長さは
$\dfrac{a/2}{\tan\dfrac{\pi}{n}}$ $=\dfrac{a}{2\tan\dfrac{\pi}{n}}$
であり，一辺の長さが $a$ なる正 $n-1$ 角形の1辺を底辺とし中心を頂点とする2等辺三角形の頂点から底辺へ下した垂線の長さは
$\dfrac{a}{2\tan\dfrac{\pi}{n-1}}$
であるから，錐の高さはピタゴラスの定理により
$\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n}}-\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n-1}}}$
である．

一方，一辺の長さが $a$ なる正 $n-1$ 角形の面積は
$(n-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{a}{2\tan\dfrac{\pi}{n}}$ $=\dfrac{(n-1)a^2}{4\tan\dfrac{\pi}{n}}$
である．

よって求める容積は
$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{(n-1)a^2}{4\tan\dfrac{\pi}{n}}\cdot\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n}}-\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n-1}}}$ $=\dfrac{(n-1)a^3}{24\tan\dfrac{\pi}{n}}\sqrt{\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n}}-\dfrac{1}{\tan^2\dfrac{\pi}{n-1}}}$
となる．

$\dfrac{(n-1)a^3}{24}\cot\dfrac{\pi}{n}\sqrt{\cot^2\dfrac{\pi}{n}-\cot^2\dfrac{\pi}{n-1}}$
と表すこともできる．