2002年(平成14年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.02.21記

[2] $xyz$ 空間において次のような3つの互いに合同な長方形 $L_1$ ， $L_2$ ， $L_3$ を考える．

$\bullet$ $L_1$ は $xy$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_1(a,b,0)$ ， $\mbox{Q}_1(-a,b,0)$ ， $\mbox{R}_1(-a,-b,0)$ ， $\mbox{S}_1(a,-b,0)$ を頂点とする．

$\bullet$ $L_2$ は $yz$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_2(0,a,b)$ ， $\mbox{Q}_2(0,-a,b)$ ， $\mbox{R}_2(0,-a,-b)$ ， $\mbox{S}_2(0,a,-b)$ を頂点とする．

$\bullet$ $L_3$ は $zx$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_3(b,0,a)$ ， $\mbox{Q}_3(b,0,-a)$ ， $\mbox{R}_3(-b,0,-a)$ ， $\mbox{S}_3(-b,0,a)$ を頂点とする．

ここで $a\gt b\gt c$ とする．このとき次の問に答えよ．

(1) $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ の面積，および $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ と原点 $\mbox{O}$ との距離を求めよ．

(2) 四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ および四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\S_2$ の体積をそれぞれ求めよ．

(3) $L_1$ ， $L_2$ ， $L_3$ の $12$ 頂点から $3$ 点を選び三角形をつくる．このとき $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ または $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{S}_2$ と合同な三角形が $20$ 個えられる．これらの三角形で囲まれる二十面体を $D$ とする． $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{4}$ なる $\theta$ に対して
$a=\cos\theta$ ， $b=\sin\theta$
とおくとき $D$ の体積 $V$ を $t=\tan\theta$ の関数 $V(t)$ として表せ．

(4) $0\lt t\lt 1$ において $V(t)$ は最大値をとることを示し，そのとき $t$ の値を求めよ．

図

本問のテーマ

パチョーリの正20面体

[解答]
(1) $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ は1辺の長さが $\sqrt{2(a^2-ab+b^2)}$ の正3角形なので，面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a^2-ab+b^2)$ となる．三角形と原点との距離は三角形の重心 $\dfrac{a+b}{3}(1,1,1)$ と原点の距離で $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(a+b)$ となる．

(2)四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ の体積は(1)から $\dfrac{1}{6}(a^3+b^3)$ となる．また四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{S}_2$ の体積は $\dfrac{1}{3}\triangle\mbox{OP}_2\mbox{S}_2\cdot$ ( $\mbox{P}_1$ の $x$ 座標) $=\dfrac{1}{3}a^2b$ となる．

(3) 20面体は四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ が8個と四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{S}_2$ が12個からなるので，
$V=\dfrac{4a^3+4b^3+12a^2b}{3}$
となり $a=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}},b=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ を代入すると
$V=\dfrac{4(t^3+3t+1)}{3(t^2+1)^{3/2}}$
となる．

(4)微分して増減表を考えると $t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ で最大となる．このとき長方形のたてよこ比は黄金比となっている．

解説: $t=\tan\theta$ は最初の長方形のたてよこ比である。ここで $a=\cos\theta, b=\sin\theta$ であるから，20個の頂点は単位球面上にある。

比が黄金比とは限らない、対角線の長さが2となるような3枚の長方形を同じように組み合わせて20面体を作り(すると12の頂点は単位球面上にある)、その立体の体積の最大値を求める問題である。このある種の対称性に基づいて配置された12点から作られる20面体の体積が最大となるのは正20面体であることが計算により確かめられる。

この20面体は正3角形8枚と2等辺3角形12枚からできており、 $\theta=0(a=1,b=0)$ のときは2等辺3角形の底辺の長さが0となり、つぶれてなくなってしまうので、正8面体になる。
$\theta=\pi/4(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ のときは2等辺3角形が直角2等辺3角形となるが、その直角2等辺3角形が2枚で正方形となるので、正3角形8枚と正方形6枚からなる立方8面体になる。

この、たてよこ比が黄金比となる長方形3枚を使って作られる正20面体のことをパチョーリ（Luca Pacioli）の正20面体という。