1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形 $\mbox{ABC}$ の辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ 上に，それぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ を $\mbox{BP}=\mbox{CQ}=\mbox{AR}\lt\dfrac{1}{2}$ となるようにとり，線分 $\mbox{AP}$ と線分 $\mbox{CR}$ の交点を $\mbox{A}'$ ，線分 $\mbox{BQ}$ と線分 $\mbox{AP}$ の交点を $\mbox{B}'$ ，線分 $\mbox{CR}$ と線分 $\mbox{BQ}$ の交点を $\mbox{C}'$ とする． $\mbox{BP}=x$ として，次の問に答えよ．

(1) $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{PB}'$ を $x$ を用いて表せ．

(2) 三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の面積が三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の $\dfrac{1}{2}$ になるような $x$ の値を求めよ．

[2] 長さ $2$ の線分 $\mbox{N}\mbox{S}$ を直径とする球面 $\mbox{K}$ がある．点 $\mbox{S}$ において球面 $\mbox{K}$ に接する平面の上で， $\mbox{S}$ を中心とする半径 $2$ の四分円（円周の $\dfrac{1}{4}$ の長さをもつ円弧）と線分 $\mbox{AB}$ をあわせて得られる曲線上を，点 $\mbox{P}$ が $1$ 周する．このとき，線分 $\mbox{NP}$ と球面 $\mbox{K}$ との交点 $\mbox{Q}$ の描く曲線の長さを求めよ．

[3] $\alpha$ を実数， $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とし，正整数 $n$ について $\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix}$ とおく．

(1) ある $n$ について $q_n=0$ となるような $\alpha$ の値をすべて求めよ．

(2) すべての $n$ について $q_n \neq 0$ となるような $\alpha$ を考える．そのとき， $a_n=\dfrac{p_n}{q_n}$ を $\alpha$ を用いて表し，また， $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ ，… の値のうちで異なるものの個数を求めよ．

[4] $xy$ 平面上の動点 $\mbox{P}$ の座標 $(x,y)$ は，時刻 $t$ を用いて
$\left\{ \begin{array}{l} x= \sin t+\cos t \\ y = k \sin^2 t \cos^2 t \end{array} \right.$
（ $-\infty \lt t\lt \infty$ ）と表されるものとする．ただし $k$ は正の定数である．このとき原点と $\mbox{P}$ との間の距離の2乗の最大値および最小値を， $k$ を用いて表せ．

[5] $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mbox{A}_0\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ がある．点 $\mbox{P}$ はこの正四面体の辺上を毎秒 $1$ の速さで動き，各頂点に達したとき，そこから出る $3$ 辺のうちの $1$ 辺を $\dfrac{1}{3}$ ずつの確率で選んで進む． $\mbox{P}$ は時刻 $t=0$ において頂点 $\mbox{A}_0$ にあるとする．また $n$ を0または正の整数とし，点 $\mbox{P}$ が時刻 $t=n$ において頂点 $\mbox{A}_i$ にある確率を
$p_i(n)$ で表す（ $i=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ）．

(1) 数学的帰納法を用いて， $p_1(n)=p_2(n)=p_3(n)$ を証明せよ．

(2) $p_0(n)$ と $p_1(n)$ の値を求めよ．

[6] $xy$ 平面の第1象限にある点 $\mbox{A}$ を頂点とし，原点 $\mbox{O}$ と $x$ 軸上の点 $\mbox{B}$ を結ぶ線分 $\mbox{OB}$ を底辺とする二等辺三角形（ $\mbox{A}\mbox{O}=\mbox{AB}$ ）の面積を $s$ とする．この三角形と不等式 $xy\leqq1$ で表される領域との共通部分の面積を求め，これを $s$ の関数として表せ．