2019年(平成31年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.12記

[2] $\mbox{O}$ を原点とする座標平面において，点 $\mbox{A}(2, \, 2)$ を通り，線分 $\mbox{OA}$ と垂直な直線を $l$ とする．座標平面上を点 $\mbox{P}(p, \, q)$ が次の2つの条件をみたしながら動く．

条件1： $8 \leqq \overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}} \leqq 17$

条件2：点 $\mbox{O}$ と直線 $l$ の距離を $c$ とし，点 $\mbox{P}(p, \, q)$ と直線 $l$ の距離を $d$ とするとき $cd\geqq{(p-1)}^2$

このとき， $\mbox{P}$ が動く領域を $D$ とする．
さらに， $x$ 軸の正の部分と線分 $\mbox{OP}$ のなす角を $\theta$ とする．

(1) $D$ を図示し，その面積を求めよ．

(2) $\cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ．

2019.03.04記

[解答]
$l$ の式は
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OX}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}=8$
であり，原点と $l$ の距離は $c=\dfrac{8}{|\overrightarrow{\mbox{OA}}|}=2\sqrt{2}$ である．

点 $P$ を通り $l$ と平行な直線と原点の距離は
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OX}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}=2(p+q)$
であるから，点 $P$ と $l$ の距離は
$d=\dfrac{2(p+q)-8}{|\overrightarrow{\mbox{OA}}|}=\dfrac{p+q-4}{\sqrt{2}}$
である．

(1) 条件1より
$8\leqq 2(p+q)\leqq 17$
であり，条件2より
$2(p+q-4)\geqq (p-1)^2\Leftrightarrow q\geqq\dfrac{1}{2}p^2-2p+\dfrac{9}{2}$
となるので，これらの共通部分を図示すれば良い．その面積は1/6公式で18となる．

(2) 原点から放物線 $q=f(p)=\dfrac{1}{2}p^2-2p+\dfrac{9}{2}$ に引いた接線の接点の座標を $t$ とすると， $f(0)=\dfrac{9}{2}$ により $t=0\pm\sqrt{2\dfrac{9}{2}}=\pm 3$ が接点の $p$ 座標となる．

これら2接点が $D$ に含まれるかどうかを考えて， $\mbox{P}\left(-2,\dfrac{21}{2}\right)$ のときに $\cos\theta$ が最小となり， $\mbox{P}(3,3)$ のときに $\cos\theta$ が最大となる．

よって
$\dfrac{-4}{\sqrt{(-4)^2+21^2}}\leqq\cos\theta\leqq\dfrac{3}{\sqrt{3^2+3^2}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{-4}{\sqrt{457}}\leqq\cos\theta\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となる．

一般には，原点を通る接線を考えるときには $f(t)=tf'(t)$ を解くが，放物線の場合は $y$ 切片との距離を放物線の2次の係数で割ったものの平方根がその答となる．