1956年(昭和31年)東京大学-数学(幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[1] 一平面上に定円 $\rm O$ と，その中心 $\rm O$ とは異なる定点 $\rm A$ がある．円 $\rm O$ の任意の直径の両端と点 $\rm A$ とを頂点とする三角形の外心の軌跡を求めよ．

2022.02.11記

[解答]
$\rm O$ の半径を $r$ とし，任意の直径の両端を $\rm B，C$ とする．また $\triangle\rm ABC$ の外接円を ${\rm O}'$
とする。

(i) $\rm A$ が円 $\rm O$ の周上にあるとき：
${\rm O}'$ は必ず ${\rm O}$ に一致するので，外心の軌跡は点 $\rm O$ となる．

(ii) $\rm A$ が円 $\rm O$ の周上にないとき：
$\rm OA$ と円 ${\rm O}'$ の $\rm A$ とは異なる交点を $\rm D$ とすると，方羃の定理から
${\rm OD}=\dfrac{{\rm OB}\cdot{\rm OC}}{{\rm OA}}=\dfrac{r^2}{{\rm OA}}$
は直径の選び方によらず一定だから， $\rm D$ は定点である．

ここで外心は $\rm AD$ の垂直2等分線上にあるが， $\rm A，D$ は互いに円 $\rm O$ に関して反転した後に原点対称させた関係にあるので，一方が内部で他方が外部となることに注意すると， $\rm AD$ の垂直2等分線上の任意の点 $\rm X$ に対して， $\rm X$ を中心として $\rm A$ を通る円は $\rm D$ も通るので， ${\rm O}$ と ${\rm O}'$ は必ず相異なる2点で交わることとなる．この2点のうち片方を $\rm Y$ とおき，円 $\rm O$ の $\rm Y$ を端点とする直径の他端を $Z$ とするとき， $\rm A，Y，Z$ を通る円は $\rm D$ を通るので円 ${\rm O}'$ に一致することから， $Z$ も円 ${\rm O}'$ 上にあることになり，よって ${\rm O}$ と ${\rm O}'$ の2交点は直径の両端 $\rm Y,Z$ となる．

よって，求める軌跡は $\rm AD$ の垂直2等分線全体である．

この点 $\rm D$ は，

(1) $\rm O$ を通り $\rm OA$ に垂直な直線と円の交点を $\rm P$ とする．
(2) $\rm P$ を通り $\rm OP$ に垂直な直線と $\rm OA$ の交点が求める点 $\rm D$ である．
(3) $\rm AD$ の垂直2等分線が求める軌跡である．

によって作図をすることができる。

座標設定をすると次のようになる．

[別解]
点 $\rm O(0,0)$ ，円 ${\rm O}:x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ），点 ${\rm A}(a,0)$ （ $a\neq 0$ ）とする．

円の直径を ${\rm B}(r\cos\theta,r\sin\theta)$ ， ${\rm C}(-r\cos\theta,-r\sin\theta)$ （ $\sin\theta\neq 0$ ）とすると，
$\rm BC$ の垂直2等分線は
$x\cos\theta+y\sin\theta=0$
であり， $\rm AB$ の垂直2等分線は
$(x-a)^2+y^2=(x-r\cos\theta)^2+(y-r\sin\theta)^2$ ，
つまり
$2(r\cos\theta-a)x+2ry\sin\theta=r^2-a^2$
となる．よって外心の座標は
$\left(\dfrac{a^2-r^2}{2a},\dfrac{(r^2-a^2)\cos\theta}{2a\sin\theta}\right)$ となる．

よって， $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ が任意の実数をとることに注意すると，

(i) $a=\pm r$ のとき，1点 $\rm O$

(ii) $a=\pm r$ のとき，直線 $x=\dfrac{a^2-r^2}{2a}$ 全体

となる．

$a=\pm r$ のときの場合分けは忘れてしまいがちなので注意しよう（減点量は少ないと思うが）。

次に束の考え方を使ってみよう．

[別解]
点 $\rm O(0,0)$ ，円 ${\rm O}:x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ），点 ${\rm A}(a,0)$ （ $a\neq 0$ ）とする．

円の直径を ${\rm B}(r\cos\theta,r\sin\theta)$ ， ${\rm C}(-r\cos\theta,-r\sin\theta)$ （ $\sin\theta\neq 0$ ）とすると，この2点を通る円は
$x^2+y^2-r^2+k\{(\sin\theta) x- (\cos\theta) y\}=0$
の形をしており，これが $\rm A$ を通ることから
$k=\dfrac{r^2-a^2}{a\sin\theta}$
をみたす．よって円の方程式は
$x^2+y^2-r^2+\dfrac{r^2-a^2}{a\sin\theta}\{(\sin\theta) x- (\cos\theta) y\}$
$=x^2+y^2-\dfrac{a^2-r^2}{a}x-\dfrac{(r^2-a^2)\cos\theta}{a\sin\theta}-r^2=0$
となり，この中心の座標は
$\left(\dfrac{a^2-r^2}{2a},\dfrac{(r^2-a^2)\cos\theta}{2a\sin\theta}\right)$ となり，これが求める外心である．

よって， $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ が任意の実数をとることに注意すると，

(i) $a=\pm r$ のとき，1点 $\rm O$

(ii) $a=\pm r$ のとき，直線 $x=\dfrac{a^2-r^2}{2a}$ 全体

となる．