1999年(平成11年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.01.13記

(1) $x^2+y^2=1$ と $y=t(x+1)$ の交点を求めて ${\rm Q}(t)\Bigl(\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\dfrac{2t}{1+t^2}\Bigr)$
同様に ${\rm Q}(s)\Bigl(\dfrac{1-s^2}{1+s^2},\dfrac{2s}{1+s^2}\Bigr)$ だから，2点間の距離の公式より
${\rm Q}(s){\rm Q}(t)=\dfrac{2(t-s)}{\sqrt{(1+t^2)(1+s^2)}}$ （∵ $0\lt s\lt t$ ）

(2) tan の加法定理により
$s=\dfrac{2u}{1-u^2}，t=\dfrac{2v}{1-v^2}$ だから，
${\rm Q}(s){\rm Q}(t)=\dfrac{4(v-u)(1+uv)}{(1+u^2)(1+v^2)}$
となり， $u,v$ が有理数ならば ${\rm Q}(s){\rm Q}(t)$ も有理数．

(3) $0$ より大きく $1$ より小さい $n$ 個の異なる有理数を用意し，それらを $u_i$ （ $i=1,2,\ldots,n$ ）とする． $t_i=\dfrac{2u_i}{1-u_i^2}$ によって定め， ${\rm B}_i\Bigl(\dfrac{1-t_i^2}{1+t_i^2},\dfrac{2t_i}{1+t_i^2}\Bigr)$ によって単位円周上の異なる $n$ 点 ${\rm B}_i$ （ $i=1,\ldots,n$ ）を定めると，これらの $x,y$ 座標は全て有理数であり，(2) よりどの線分 ${\rm B}_i{\rm B}_j$ の長さも有理数である．

各 ${\rm B}_i$ の座標， $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 通りの線分の長さは有理数であるから，それらを既約分数で表現したときに登場する全ての分母（整数の場合は1とする）に対する最小公倍数を $L$ とし，各 ${\rm B}_i$ を原点中心に $L$ 倍拡大した点を ${\rm A}_i$ （ $i=1,\ldots,n$ ）とすると，各 ${\rm A}_i$ は格子点で，それらの任意の異なる2点の長さは整数であり，これらは半径 $L$ の円周上にあるので，どの3点も同一直線上にはないので，題意をみたす $n$ 点となっている．