[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1957-01-12

1957年(昭和32年)東京大学-数学(幾何)[1]

2022.02.13記

[1] $\triangle\rm ABC$ の辺 $\rm BC$ の中点を $\rm M$ とする． $\angle\rm BAM+\angle ACB$ が直角であるとき， $\triangle\rm ABC$
はどのような形であるか．

2022.02.18記

[解答]
正弦定理から
$\dfrac{\rm AM}{\sin\angle{\rm ABM}}=\dfrac{\rm BM}{\sin\angle{\rm BAM}}\cdots$ (i)，
$\dfrac{\rm AM}{\sin\angle{\rm ACM}}=\dfrac{\rm CM}{\sin\angle{\rm CAM}}\cdots$ (ii)
である．

いま， $\angle\rm BAM+\angle ACM=90^{\circ}$ により $\angle\rm ABM+\angle CAM=90^{\circ}$ であり，これと $\rm BM=CM$ から (ii) は
$\dfrac{\rm AM}{\cos\angle{\rm ABM}}=\dfrac{\rm BM}{\sin\angle{\rm BAM}}$
となり，よって(i)から
$\sin 2\angle{\rm ABM}=\sin 2\angle{\rm BAM}$
となるので，