[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1957年(昭和32年)東京大学-数学(幾何)[2]

2022.02.13記

[2] 頂点がそれぞれ 45^{\circ}，60^{\circ}，75^{\circ} で外接円の半径が r であるような三角形の面積を求めよ．

2022.02.18記
外接円の半径は \dfrac{abc}{4S}

[解答]
三角定規を並べることにより，3辺の長さを 2k,\sqrt{6}k,(\sqrt{3}+1)k とおくことができる。

この三角形の高さは \sqrt{3}k だから面積は \dfrac{1}{2}\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)k^2 であり，外接円の半径は R=\dfrac{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)k^3}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)k^2}=\sqrt{2}k である。

よって面積を外接円の半径で表すと \dfrac{3+\sqrt{3}}{4}r^2 となる．

もちろん外接円の半径を正弦定理 2R=\dfrac{2a}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{\sin 60^{\circ}} から求めても良い。