1960年(昭和35年)東京大学-数学(数学Ｉ幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.13記

[1] 三角形 $\rm ABC$ の外心を $\rm O$ とし，三辺 $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ に関して $\rm O$ と対称な三点をそれぞれ $\rm A′，B′，C′$ とする
とき，三角形 $\rm A′B′C′$ は三角形 $\rm ABC$ に合同であることを証明せよ．

2020.10.13記

[1] $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ の中点をそれぞれ $\rm D，E，F$ とすると，中点連結定理により， $\triangle\rm DEF$ は $\triangle\rm ABC$ を $\dfrac{1}{2}$ 倍に拡大したものである．

また， $\triangle\rm A'B'C'$ は $\triangle\rm DEF$ を $\rm O$ 中心に2倍に拡大したものである．

よって， $\triangle\rm A'B'C'$ は $\triangle\rm ABC'$ に合同である．

なお、 $\triangle\rm DEF$ は $\triangle\rm ABC$ を $\triangle\rm ABC$ の重心 $\rm G$ 中心に $-\dfrac{1}{2}$ 倍（負号は逆向きに）に拡大したものであるから，これと $\rm O$ 中心に2倍に拡大を合成すると， $\rm GO$ を $1:3$ に外分する点 $\rm Q$ 中心に $-1$ 倍拡大する変換となる．つまり $\triangle\rm A'B'C'$ は $\triangle\rm ABC'$ を $\rm Q$ 中心に $-1$ 倍拡大したものとなる．

ここで，オイラー線上で $\rm G$ は $\triangle\rm ABC$ の垂心を $\rm H$ とすると $\rm OG$ を $1:2$ に内分する点となるので，これから， $\rm Q$ は $\rm OH$ の中点であることがわかる．つまり $\rm Q$ は， $\triangle\rm ABC$ の九点円の中心である．