1962年(昭和37年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.18記

[4] 図のような $xy$ 平面上の図形において， $\rm OE=OF=1$ ， $\angle {\rm EOF}={90}^{\circ}$ ， $\tan \alpha=\sqrt{2}$ とし， $\rm ABCD$ は $\angle{\rm EOF}$ の中にある長方形で ${\rm AB}=1$ ， ${\rm BC}=\sqrt{2}$ なるものとする．
この長方形の頂点 ${\rm A}$ が ${\rm OE}$ 上を ${\rm E}$ から ${\rm O}$ に向って動き，頂点 ${\rm B}$ が ${\rm OF}$ 上を ${\rm O}$ から ${\rm F}$ に向って動くとき，

(i) $\angle{\rm CBF}$ を $\theta$ として頂点 ${\rm C}$ の座標を $\theta$ で表わせ．

(ii) $\rm C$ はどのような曲線をえがくか．
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2022.02.18記

[解答]
(i) ${\rm OB}=\sin\theta$ であるから，
$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ， $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ に注意して，
$\vec{\rm OC}=\sin\theta \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}+\sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\theta) \\ \sin(\alpha+\theta) \end{pmatrix}$
$=\sin\theta \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}+\sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta \\ \sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} \sqrt{2}\cos\alpha\cos\theta+(\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha)\sin\theta \\ \sqrt{2}\sin\alpha\cos\theta+(\sin\alpha+\sqrt{2}\cos\alpha)\sin\theta \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cos\theta-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta \\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos\theta+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin\theta \end{pmatrix}$
となり，
${\rm C}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cos\theta-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta , \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos\theta+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin\theta \right)$
となる．

(ii) $\vec{\rm OC}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$
（ $0^{\circ}\leqq \theta\leqq 90^{\circ}$ ）
であるから，単位円の四分弧を原点中心に回転させて $y$ 軸方向に2倍拡大したものとなり，楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ の一部となる．

軌跡の限界は， $0^{\circ}\leqq \theta\leqq 90^{\circ}$ より
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\leqq x\leqq\dfrac{\sqrt{6}}{3},y\gt 0$ の部分．