2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[3] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2 点 ${\rm S}(x_1,y_1)$ ， ${\rm T}(x_2,y_2)$ に対し，点 $\rm S$ が点 $\rm T$ から十分離れているとは，
$|x_1-x_2|\geqq 1$ または $|y_1-y_2|\geqq 1$
が成り立つことと定義する。

不等式 $0\leqq x\leqq 3$ ， $0\leqq y\leqq 3$ が表す正方形の領域を $D$ とし，その2つの頂点 ${\rm A}(3,0)$ ， ${\rm B}(3,3)$ を考える。さらに，次の条件(i)，(ii)をともに満たす点　 $\rm P$ をとる。

(i) 点 $\rm P$ は領域 $D$ の点であり，かつ，放物線 $y=x^2$ 上にある。

(ii) 点 $\rm P$ は， 3点 $\rm O,A,B$ のいずれからも十分離れている。

点 $\rm P$ の $x$ 座標を $a$ とする。

(1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 次の条件(iii),(iv)をともに満たす点 $\rm Q$ が存在しうる範囲の面積 $f(a)$ を求めよ。

(iii) 点 $\rm Q$ は領域 $D$ の点である。

(iv) 点 $\rm Q$ は， 4点 $\rm O,A,B,P$ のいずれからも十分離れている。

(3) $a$ は (1) で求めた範囲を動くとする。(2) の $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

2022.02.26記

[解答]

ある点を中心とする1辺2の正方形の外部（境界含む）が「十分離れている」領域である．

(1) $1\leqq a\leqq\sqrt{3}$

(2) $0\leqq x\leqq 3$ ， $0\leqq y\leqq 3$ でできる9個の単位正方形から左下、右下、右上の3つの単位正方形を除いた部分が、 $\rm O,A,B$ から十分離れた部分であり，この領域から， $\rm P$ を中心とする1辺2の正方形の外部（境界含む）にある部分の面積を求めれば良い。

(i) $1\leqq a\leqq\sqrt{2}$ のときは $f(a)=a^3-2a^2-a+5$
(ii) $\sqrt{2}\leqq a\leqq\sqrt{3}$ のときは $f(a)=2a^2+a-3$

(3) $1\leqq a\leqq\sqrt{2}$ のとき、 $f'(a)=3a^3-4a^2-1$ となるので，極値は $a=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{3}$ となるが，これはともに $1\leqq a\leqq\sqrt{2}$ の範囲外で，この範囲内では負の値となり，単調減少となる．

また， $2a^2+a-3$ 　の軸は $a=-\dfrac{1}{2}$ なので， $\sqrt{2}\leqq a\leqq\sqrt{3}$ の範囲で $2a^2+a-3$ は単調増加。

よって $a=\sqrt{2}$ のとき最小となる．