1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[6] $n$ を $2$ より大きい正の整数とする．曲線 $y=x^n\cdots$ (i)上で， $x$ 座標が $0$ ， $1$ ， $2$ である点をそれぞれ $\rm O，A，B$ とし， $\rm O，A，B$ をとおり $y$ 軸に平行な軸をもつ放物線 $y=f(x)\cdots$ (ii)をえがく．曲線(i)および放物線(ii)の， $\rm O，A$ の間にある部分の囲む面積を $S_1$ ， $\rm A，B$ の間にある部分の囲む面積を $S_2$ とするとき， $S_1=S_2$ となるためには， $n$ はどのような数でなければならないか．

2022.02.19記
3点を通る2次(以下)の関数を求める方法は沢山あるが，そのうちの2点を通る直線の式を持ち出して考えてみよう．

この考え方を Newton の補間公式という．

[解答]
$(0,0),(1,1)$ を通る2次関数は
$f(x)=kx(x-1)+x$
とかけるので，これが $(2,2^n)$ を通ることから
$f(x)=(2^{n-1}-1)x(x-1)+x$
とかける．

$g(x)=x^n-f(x)$ $=x^n-(2^{n-1}-1)x(x-1)-x$
$=x(x-1)\left(\dfrac{x^{n-1}-1}{x-1}-\dfrac{2^{n-1}-1}{2-1}\right)$ $=x(x-1)\{(x^{n-2}-2^{n-2})+(x^{n-3}-2^{n-3})+\cdots +(x-2)\}$
とおき，
$h(x)=(x^{n-2}-2^{n-2})+(x^{n-3}-2^{n-3})+\cdots+(x-2)$
とおくと，
$0\lt x\lt 2$ で $h(x)\lt 0$ であるから，

$0\lt x\lt 1$ で $g(x)\gt 0$ ， $1\lt x\lt 2$ で $g(x)\lt 0$ ，

が成り立つ．よって $S_1=S_2$ となるには，
$\displaystyle\int_0^2 g(x)dx=0$
となれば良く，実際に積分すると
$\dfrac{5-n}{3(n+1)}2^n-\dfrac{4}{3}=0$
という条件が得られ，
$\dfrac{5-n}{n+1}=\dfrac{1}{2^{n-2}}$
となる． $n\geqq 5$ のときは左辺は0以下となるので不適であるから、 $n=3,4$ で確認すれば良い．