1962年(昭和37年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.11.23記

[1] 2次方程式 $x^2-2x\log_ab+\log_ba=0$ が実根 $\alpha$ ， $\beta$ をもち， $0\lt \alpha\lt 1\lt \beta$ となるものとする．このとき $a$ ， $b$ ， $1$ の大きさの順序はどのようになるか．ただし $a$ ， $b$ はいずれも $1$ と異なる正の数とする．

[2] $\triangle{\rm ABC}$ において $\angle A=90^{\circ}$ ， $\rm AB=AC=2$ とする．点 ${\rm B}$ ， ${\rm C}$ から直線 ${\rm BC}$ に関して ${\rm A}$ と同じ側に辺 $\rm BC$ に垂直な半直線 ${\rm BX}$ ， ${\rm CY}$ を引く．半直線 ${\rm BX}$ ，辺 ${\rm AB}$ ， ${\rm BC}$ ， ${\rm CA}$ ，半直線 ${\rm CY}$ の上にそれぞれ点 ${\rm P}$ ， ${\rm Q}$ ， ${\rm R}$ ， ${\rm S}$ ， ${\rm T}$ をとり，
${\rm PQ} \parallel {\rm BC}$ ， $\dfrac{\cos \angle {\rm BQP}}{\cos\angle{\rm AQR}}=\sqrt{2}$ ， $\angle \rm BRQ=\angle CRS$ ， $\dfrac{\cos \angle {\rm CST}}{\cos\angle{\rm ASR}}=\sqrt{2}$
となるようにする．

${\rm BP}=x$ ， ${\rm CT}=y$ とするとき， $x$ と $y$ との間にはどのような関係式を成り立つか．

[3] 半径 $a$ の円周を $6$ 等分する点のそれぞれを中心として，半径 $a$ の円をえがくとき，これら $6$ 個の円がおおう範囲（図の太線で囲まれた範囲）の面積を求めよ．
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[4] 図のような $xy$ 平面上の図形において， $\rm OE=OF=1$ ， $\angle {\rm EOF}={90}^{\circ}$ ， $\tan \alpha=\sqrt{2}$ とし， $\rm ABCD$ は $\angle{\rm EOF}$ の中にある長方形で ${\rm AB}=1$ ， ${\rm BC}=\sqrt{2}$ なるものとする．
この長方形の頂点 ${\rm A}$ が ${\rm OE}$ 上を ${\rm E}$ から ${\rm O}$ に向って動き，頂点 ${\rm B}$ が ${\rm OF}$ 上を ${\rm O}$ から ${\rm F}$ に向って動くとき，