1962年(昭和37年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.11.23記

[1] 2次方程式 $x^2-2x\log_ab+\log_ba=0$ が実根 $\alpha$ ， $\beta$ をもち， $0\lt \alpha\lt 1\lt \beta$ となるものとする．このとき $a$ ， $b$ ， $1$ の大きさの順序はどのようになるか．ただし $a$ ， $b$ はいずれも $1$ と異なる正の数とする．

[2] $\triangle{\rm ABC}$ において $\angle A=90^{\circ}$ ， $\rm AB=AC=2$ とする．点 ${\rm B}$ ， ${\rm C}$ から直線 ${\rm BC}$ に関して ${\rm A}$ と同じ側に辺 $\rm BC$ に垂直な半直線 ${\rm BX}$ ， ${\rm CY}$ を引く．半直線 ${\rm BX}$ ，辺 ${\rm AB}$ ， ${\rm BC}$ ， ${\rm CA}$ ，半直線 ${\rm CY}$ の上にそれぞれ点 ${\rm P}$ ， ${\rm Q}$ ， ${\rm R}$ ， ${\rm S}$ ， ${\rm T}$ をとり，
${\rm PQ} \parallel {\rm BC}$ ， $\dfrac{\cos \angle {\rm BQP}}{\cos\angle{\rm AQR}}=\sqrt{2}$ ， $\angle \rm BRQ=\angle CRS$ ， $\dfrac{\cos \angle {\rm CST}}{\cos\angle{\rm ASR}}=\sqrt{2}$
となるようにする．

${\rm BP}=x$ ， ${\rm CT}=y$ とするとき， $x$ と $y$ との間にはどのような関係式を成り立つか．

[3] 図で， $g$ は水平面に対する傾き $\tan\alpha$ が $\dfrac{1}{2}$ であるような定直線とし， $\rm OA$ ， $\rm AB$ は $\rm A$ で（ちょうつがいで）連結された長さの等しい棒で，その端 $\rm O$ は $g$ 上の定点に固定され， $\rm OA$ は $g$ を含む鉛直面内で自由に回転し，他の端 $\rm B$ は $g$ 上を動くことができるようになっている．

このとき，折れ線 $\rm OAB$ の重心 $\rm G$ （ $\rm OA$ ， $\rm AB$ の中点を結ぶ線分の中点）が最低になるのは， $\rm OA$ の水平面となす傾き $\tan\theta$ がいくらになるときか．

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[4] 無限級数 $\dfrac{r}{1-r^2}+\dfrac{r^2}{1-r^4}+\dfrac{r^4}{1-r^8}+\cdots\cdots+\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}+\cdots\cdots$ の和を求めよ．ただし $|r|\neq 1$ とする．