1962年(昭和37年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.18記

[3] 図で， $g$ は水平面に対する傾き $\tan\alpha$ が $\dfrac{1}{2}$ であるような定直線とし， $\rm OA$ ， $\rm AB$ は $\rm A$ で（ちょうつがいで）連結された長さの等しい棒で，その端 $\rm O$ は $g$ 上の定点に固定され， $\rm OA$ は $g$ を含む鉛直面内で自由に回転し，他の端 $\rm B$ は $g$ 上を動くことができるようになっている．

このとき，折れ線 $\rm OAB$ の重心 $\rm G$ （ $\rm OA$ ， $\rm AB$ の中点を結ぶ線分の中点）が最低になるのは， $\rm OA$ の水平面となす傾き $\tan\theta$ がいくらになるときか．

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2022.02.18記

[解答]
${\rm OA}=1$ として良い． ${\rm A}$ から $g$ に下した垂線の足を $\rm H$ とすると，中点連結定理から $\vec{\rm OG}=\dfrac{\vec{\rm OH}+\vec{\rm OA}}{2}$ である。

${\rm A}(-\cos\theta,-\sin\theta)$ とおくと， ${\rm A}$ から $g$ に下した垂線の足 $\rm H$ について，
$\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha\end{pmatrix}$ への正射影ベクトルから，
$\vec{\rm OH}=(-\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha\end{pmatrix}$
となるので，
であるから， ${\rm G}$ の $y$ 座標は，
$\tan\alpha=\dfrac{1}{2}$ より $\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ， $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ だから，
$-\dfrac{1}{5}\cos\theta-\dfrac{3}{5}\sin\theta =-\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta\end{pmatrix}$
となる．よってこれが最小となるのは，
$\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta\end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
のときだから， $\tan\theta=3$ のとき．

河合塾72年では $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ とする，と宣言しているが，上記解答においてはその条件は不要
（但し， $\rm O$ と $\rm B$ が一致するときは， $\rm A$ は自由に回転できずに， $\rm OA$ は $g$ に垂直な位置にあるとしている)

なお，最小値は $-\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ となり， $-\dfrac{1}{2}$ よりも小さいので， $\rm O$ と $\rm B$ が一致するときに $\rm A$ は自由に回転できたとしても，この答が最小となっている。この件については、河合塾72年も、きちんと指摘している．